聚焦思维求异的开放型试题

孙建敏

数学开放型试题是相对于传统的条件完备、结论明确的封闭题型而言的，是指那些条件开放、结论开放、解题策略开放的问题.数学开放型试题能够考查学生的创新意识与创造能力，从而备受命题者的青睐.下面归类举例说明.

一、结论开放

结论开放型试题，是让解题者根据给出的问题条件探索相应结论的一类试题.一般来说，符合条件的结论往往较多.

二、条件开放

条件开放型试题，是已经给出问题的结论，而要求补加能推出结论的条件的一类题型，其主要特征是问题条件不完备，且所要补充的条件不是得出结论所必须的一个条件.

例1在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，点M是边BA延长线上的一点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.（1）求证：四边形ADCE为矩形.（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.

解：（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC.又因，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90°.又因∠ADC=∠CEA=90°，所以四边形ADCE为矩形.（2）比如，当AD=12BC时，四边形ADCE是正方形.证明：因为AB=AC，AD⊥BC于D，所以 DC=12BC.又因AD=12BC，所以DC=AD.由（1）知四边形ADCE为矩形，所以矩形ADCE是正方形.

点评：运用逆向思维，执果索因，是解决某些条件开放型试题的好办法.

三、策略开放

策略开放型试题，一般指解题方法与途径不唯一的问题.这类问题，突破了单一的解题模式，要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程.

例2下课了，老师给大家布置了一道作业题：当x=1+3时，求代数式（x2-1）（x+1）x2-x÷（1+x2+12x）的值.雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算得很久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程.

解：（x2-1）（x+1）x2-x÷（1+x2+12x）=（x-1）（x+1）2x（x-1）÷2x+x2+12x=（x+1）2x×2x（x+1）2=2.所以当x=1+3时，原代数式的值仍为2.

点评：分式化简类试题，以考查基础知识、基本技能和开放探索能力为主，并且题型不拘一格，新颖活泼，符合学生的年龄特征，贴近生活实际.

四、方案设计开放

该类试题常常是从数学角度对某些生活中的问题进行创新设计研究，引导学生将所学的数学知识应用于实际，有利于提高学生的实践应用能力和动手操作能力.

例3梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）.其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42min，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）.（1）若小汽车送4人到达考场，再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场.（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性.

解：（1）1560×3×60=45（分钟）.因为45>42，所以不能在限定时间内到达考场.（2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场.先将4人用车送到考场所需时间为1560=0.25（h）=15（min）.0.25h另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15-1.25=13.75（km）.设汽车返回t（h）后与步行的4人相遇，則有5t+60t=13.75，解得t=2.7513（h）.汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.7513h.所以用这一方案送这8人到考场共需15+2×2.7513×60≈40.4（min）.因为40.4<42，所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到.

点评：该题用时最少的方案如下：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场.