有初应力的FRP约束混凝土圆柱应力—应变分析型模型

潘　毅，吴晓飞，郭　瑞，蔡联亨

(1.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都　610031；2.西南交通大学 交通隧道工程教育部重点实验室，四川 成都　610031；3.成都基准方中建筑设计有限公司，四川 成都　610017)

纤维增强复合材料(Fiber Reinforced Polymer，FRP)外包加固混凝土柱，通过约束混凝土的侧向膨胀，从而提高混凝土柱的抗压强度和延性。国内外学者对FRP约束混凝土柱的应力—应变关系开展了大量研究，提出了很多模型。文献[1]指出，FRP约束混凝土柱的应力—应变关系模型可分为设计型模型与分析型模型两类。设计型模型将FRP 约束混凝土作为一个整体，通过对试验数据的回归分析，得到应力—应变曲线上的关键点，从而建立本构关系[2]。而分析型模型则将混凝土和FRP视为2个部分，通过二者的应力平衡和应变协调，考虑FRP对混凝土的约束作用，从而建立应力—应变关系，更适合做结构的非线性分析。但相比设计型模型，分析型模型还比较少。其中，文献[3]通过修正约束混凝土的体积应变计算公式，采用数值迭代，建立了FRP约束混凝土的应力—应变关系；文献[4]以八面体强度准则提出了FRP约束混凝土峰值应力的计算方法，然后采用增量方法建立了FRP约束混凝土圆柱的分析型模型；文献[5-6]根据大量的试验数据对FRP约束混凝土的轴向—侧向应变关系进行了修正，并由此建立FRP约束混凝土圆柱的分析型模型。但上述模型都是混凝土柱在无初应力的条件下提出的，而实际加固中的混凝土柱都带有一定的初应力。而初应力会造成外包FRP的拉应变滞后，从而降低FRP的侧向约束强度。目前，尽管对有初应力下FRP约束混凝土的研究也已开展[7-13]，但这些研究多数是设计型模型，且多数模型仅与自己的试验数据进行了比较，未建立考虑不同初应力的分析型模型。

针对上述研究中的不足，在103个有初应力的FRP约束混凝土圆柱试验数据的基础上，本文引入考虑不同初应力水平的影响因子，提出有初应力的峰值应力和峰值应变计算公式，根据FRP约束混凝土轴向—侧向应变关系，构建侧向膨胀系数计算公式，并基于Mander的箍筋约束混凝土本构模型，建立考虑初应力影响的FRP约束混凝土圆柱应力—应变分析型模型，并与试验结果和其他既有模型进行对比。

1　有初应力的FRP约束混凝土圆柱峰值应力与峰值应变

FRP约束混凝土圆柱的峰值应力fcc与峰值应变εcc主要取决于侧向约束强度fl(即FRP对混凝土提供的侧向约束应力)，其表达式为

(1)

其中，

εh.rup=kεεfrp

式中：Ef为FRP的弹性模量；tf为FRP的实际厚度；D为混凝土圆柱的直径；εh.rup为FRP的有效极限拉应变；εfrp为FRP的名义极限拉应变；kε为由于混凝土开裂处应力集中等原因导致FRP提前断裂的折减系数。

不同的学者对kε取值有所不同。其中，Carey and Harries[14]建议取0.57～0.61，而Lam and Teng[6]建议取0.586，敬登虎[15]建议FRP约束混凝土圆柱取0.65。而Ozbakkaloglu 和Akin[16]则认为kε不应为一个定值，其取值与未约束混凝土的强度、FRP的弹性模量有关，其表达式为

kε=0.9-2.3fco×10-3-0.75Ef×10-6

(2)

式中：fco为未约束混凝土的峰值应力。

试验研究发现，初应力会降低FRP约束混凝土柱的峰值应力与峰值应变，且降低幅度是初应力的函数。本文收集到有初应力的FRP约束混凝土圆柱轴压试验数据103个，初应力水平大多在0.0～0.7之间，其具体信息见表1。

表1　试验数据概况

通过对收集到的103个试验数据进行回归分析，并引入峰值应力影响因子kf，建立有初应力的峰值应力计算公式，其表达式为

(3)

其中，

式中：n为初应力水平，即初应力与未约束混凝土峰值应力的比值。

同峰值应力计算公式的建立方法，引入峰值应变影响因子kε，建立有初应力的峰值应变计算公式，其表达式为

(4)

其中，

kε=(1-n8.4)2.67

式中：El为FRP侧向约束刚度；εco为未约束混凝土的峰值应变；Eco为未约束混凝土的弹性模量。

由表1中的构件基本参数和式(3)和式(4)计算得到峰值应力、峰值应变，并与试验结果比较，二者的误差基本都在20%以内，如图1所示。其中，峰值应力的预测效果整体优于峰值应变。这主要有2个原因，其一是应变测量主要通过应变仪或电阻应变片获得，测量精度较应力差一些；其二是峰值应变不仅与侧向约束应力有关，而且与FRP的种类有关，而峰值应力基本与FRP的种类无关[17]。因此，多数既有计算模型对峰值应力的预测均好于峰值应变。

图1　本文计算值与试验值的比较

为了验证峰值应力和峰值应变计算公式的准确性，根据收集到的试验数据，本文通过平均绝对误差、(计算值/试验值)的平均值和变异系数，对本文计算公式和有代表性的现有计算公式进行评估，其中，平均绝对误差、(计算值/试验值)的变异系数定义如下

(5)

(6)

对峰值应力和峰值应变计算公式的评估结果见表2。由表2可知，本文计算公式的预测效果整体优于其他的现有计算公式。

表2　峰值应力和峰值应变计算公式的比较

2　轴向—侧向应变关系

FRP约束混凝土研究的基础问题之一是如何确定其轴向—侧向应变关系。国内外学者对此问题进行了大量的研究[5,9,18]。本文定义侧向膨胀系数μ为侧向应变和轴向应变之比，其表达式为

(7)

式中：εl为混凝土的侧向应变，其与混凝土环向应变相等；εc为混凝土的轴向应变。

在FRP与混凝土之间粘接牢固且无任何相对滑移的条件下，混凝土的侧向应变与FRP的环向拉应变相等，即εh=εl。

已有试验研究表明，加载初期由于轴向压力较小，FRP基本不发挥作用，其侧向膨胀系数μ类似于无约束混凝土的泊松比ν，约为0.2[19]；随着σc和εc的增加，混凝土侧向不断膨胀，μ随着增大，直至FRP侧向约束作用被充分发挥出来，μ将逐渐趋于稳定，其稳定值主要由侧向约束强度决定[20]。多数轴向—侧向应变关系模型未考虑初应力的影响，而文献[21]认为侧向膨胀系数μ的稳定值μu不仅与FRP的侧向约束强度有关，还与初应力水平有关，其表达式为

(8)

根据公式(8)，并结合FRP约束混凝土柱轴向—侧向应变关系的发展规律，本文建立了有初应力的侧向膨胀系数μ计算公式，其表达式为

(9)

将式(9)与文献[5]的Teng模型、文献[11]的试验数据进行比较，如图2所示。由图2比较可知，本文给出的计算公式不仅比Teng模型的公式简单，而且有较好的计算精度。

图2　轴向—侧向应变计算模型的比较

3　有初应力的分析型模型

Mirmiran认为FRP约束混凝土在每个给定的侧向约束作用下等同于1个主动约束状态，即可先给1个侧向约束应力，基于主动约束的本构关系，便可得该侧向约束应力下的轴向应力和应变点，然后采用增量迭代可得到更多的点，最后将不同侧向约束应力下的应力和应变点连起来[22]，便可得完整的FRP约束混凝土应力—应变曲线，如图3所示。由于箍筋屈服后所提供的侧向约束应力不变，等同于主动约束状态，因此本文采用Mander的箍筋约束混凝土本构模型作为FRP约束混凝土的主动约束方程，其表达式为

(10)

式中：σc为混凝土的轴向应力；r为混凝土的脆性系数，r=Ec/(Ec-fcc/εcc)；其余符号与前文相同。

图3　分析模型计算示意

根据上述提出的峰值应力和峰值应变计算公式及侧向膨胀系数μ的计算公式，基于Mander主动约束方程，采用增量迭代方法，建立有初应力的应力—应变分析型模型，具体计算步骤如下。

(1)给定1个约束混凝土圆柱的轴向应变εc，i(i=1，2，…)。

(2)通过描述轴向—侧向应变关系的式(9)，得到轴向应变εc，i对应的侧向应变εl，i。

(3)通过混凝土与FRP的应变协调条件，即εh，i=εl，i，得到FRP的应变εh，i。

(4)由式(1)计算应变εh，i下FRP对混凝土的侧向约束力fl，i。

(5)将fl，i和初应力水平n代入式(3)—式(4)，计算当前侧向约束力fl，i下对应的峰值应力fcc和峰值应变εcc。

(6)将fcc和εcc代入式(10)，计算本次εc，i对应的σc，i，得到应力—应变曲线上的1个点。

(7)逐步加大εc，i，重复步骤(1)—步骤(6)，即可得到应力—应变关系曲线上更多的点。

(8)直至εh，i大于εh.rup，结束迭代过程，得到完整的应力—应变关系曲线。

本文在Visual Basic 6.0编译器下开发了相应的计算程序，实现了该方法。

4　分析型模型的验证与比较

4.1　分析型模型的验证

为验证本文分析型模型的正确性，取与初应力水平n=0.00～0.71对应的试验数据进行计算，并将计算得到的曲线与试验得到的曲线进行比较，限于篇幅，本文仅列出部分比较结果，如图4所示。

图4　本文模型计算曲线与试验曲线的比较

由图4可知，除个别构件的计算结果与试验结果的误差稍大外，大多数分析型模型的计算曲线与试验曲线吻合较好，且计算值整体略小于试验值，偏于安全。这说明本文建立的分析型模型可以较好地考虑不同初应力对应力—应变曲线的影响。

4.2　分析型模型的比较

为了检查本文分析型模型的适用性，将本文的分析型模型与文献[2,3,18,21]中分析型或设计型模型和收集的试验数据进行比较，限于篇幅，本文仅列出初应力水平n较高的结果，如图5所示。相比既有模型，由于考虑了初应力水平的影响，本文的分析型模型计算曲线与试验曲线整体吻合较好，峰值应力和峰值应变与试验值的误差也较小，优于部分既有模型。

图5　本文模型与既有模型的比较

5　结　语

(1)考虑不同的初应力水平，引入峰值应力和峰值应变影响因子，所建立的峰值应力与峰值应变的计算公式能较好考虑初应力的影响，与试验结果的误差小于20%。

(2)建立了1个考虑初应力影响的轴向—侧向应变关系的三折线计算模型，该模型能较好地预测FRP约束混凝土圆柱侧向膨胀的变化规律。

(3)建立的分析型模型计算曲线与试验曲线吻合较好，比其他的既有模型有更好的预测精度。

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