浅析辅助函数的构造方法

吴秀才++程慧燕++蒋文丽

摘要：微分中值定理是高等数学的一个重要内容，它是架起函数与导数的一座桥梁，在很多方面都有应用，其中证明区间中值点的存在性是非常重要的应用，也是历年考研经常出现的题型之一.这类题需要用构造辅助函数的方法，本文通过对例题的分析，总结出常见的构造辅助函数的方法.

关键词：微分中值定理；证明；辅助函数；构造方法

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引言

辅助函数构造法是数学证明中广泛使用的一种很有用的方法，辅助函数是依据数学问题的题设及相关信息而构造的函数，它能将比较抽象的数学问题转化为比较容易解决的辅助函数问题，构造辅助函数是一种创造性的思维过程，具有很大的灵活性，下面结合例题总结几种构造辅助函数的方法.

一、构造辅助函数的方法

利用微分中值定理证明中值点存在性问题时，关键是根据待证结论的结构特征来构造辅助函数，构造辅助函数最基本的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论结构的不同而不同.

1. 常數观察法

这种方法是根据要证结论的常数部分揣测辅助函数，适用于常数规律性强的题目.

例1 函数 在 上连续，在 内可导，证明：在 内至少存在一点 ，使得 .

分析：观察右端常数部分是函数 在区间 两端点函数值的差与区间长度 之商，联想到对函数 使用拉格朗日中值定理.另外本题也可从左侧表达式寻找原函数.

参考文献：

[1]拉格朗日中值定理证明中辅助函数作法的推广及应用.郭芳萍.山西财经大学学报[J].2006.4.

[2]同济大学数学系.高等数学第七版[M].高等教育出版社.2014.7.