《函数的奇偶性》课堂实录

2017-04-10 00:13高昌胜万忠国
课程教育研究·新教师教学 2016年2期
关键词:奇函数偶函数奇偶性

高昌胜+万忠国

中图分类号:G633.6

(展示图片:见附件)

师:(问题一)同学们能将下列图像进行分类吗? (同学们开始讨论)

生:一类图像关于y轴成轴对称,另一类图像关于原点成中心对称

师:在数学中我们把图像关于y轴对称的函数叫偶函数;图像关于原点对称的函数叫奇

函数(从而自然的引入本节的课题-----函数的奇偶性。教师板书课题)

师:(问题二)有没有既不关于y轴对称也不关于原点对称的函数图像?(学生思考)

(教师进一步提示) 我们已经学过了哪些函数?

(在教师的启发下,学生开始活跃起来,纷纷讨论起来)

师:同学们能列举出几个这样的函数吗

生:一次函数f(x)=x+4,二次函数f(x)=(x-2)2+2既不关于y轴对称又不关于原点对称

(教师在黑板上作出函数的图像让同学们观察)

师:这些函数是奇函数还是偶函数?

生:它们既不是奇函数也不是偶函数

师:(问题三)同学们能判断下列函数的奇偶性吗?。

(黑板上书写函数(1)f(x)=x4+2, (2) f(x)=x5+x3)

(学生经过一段时间的思考、讨论后再一次陷入了沉思,学生的心里充满困惑:这

两个函数的图像很难画出来,甚至根本画不出来,如果画不出函数的图像该怎么

判断?部分学生想到能不能不画出函数的图像,而判断出一个函数的奇偶性?)

师:,我们从函数的图像无法入手,为了解决这些问題,能不能从代数解析式的角度去

研究什么是奇函数、什么是偶函数?

(通过问题的设置,让学生明白究奇函数和偶函数定义的必要性,有效的激发了

学生探求新知的欲望,充分调动了学生参与思考的积极性和主动性)

师:结合偶函数f(x)=x2的解析式,怎样从“数”上观察特征。

(在教师的启发下学生通过列举自变量x的取值:-3、-2、-1、0、1、2、3,计算

得到f(x)的函数值9、4、1、0、1、4、9。发现规律:f(x)=f(-x),由此,学生进一

步猜想:对任意的自变量x是否都有f(x)=f(-x)成立?)

师:(问题四)如果函数y=f(x)的图像关于y轴对称,我们就说这个函数是偶函数。那

么如何从代数的角度定义偶函数呢?

(有了前面的铺垫,学生很容易地归纳得到了偶函数的定义:)

如果对于函数y=f(x)的定义域的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=(x)

是偶函数。

师:图五和图六有什么相同和不同呢?它们都是偶函数吗?

生:解析式相同,定义域不同,图像不同。图六是偶函数,图五不是偶函数。

师:(问题五)相同的函数一个是偶函数,一个不是偶函数,这是为什么呢?

生:因为定义域不同,不是关于不对称的,所以图像不是关于y轴对称的。

师:这个回答只是从图像观察得到,我们能不能从函数的定义中找到定义域为什么必须

关于原点对称。(学生又被难住了,不知怎样回答,让学生讨论)

生:在定义中要计算f(x)和f(-x),所以x和-x都必须在定义域内,即定义域必须关于原

点对称。

师:通过以上的分析,同学们知道判断函数偶性的前提条件是什么吗?

(学生齐声回答)

生:定义域关于原点对称。

师:二次函数f(x)=(x-2)2+2的定义域关于原点对称,为什么不是偶函数呢?

生:因为不满足f(-x)=f(x),所以不是偶函数。

师:同学们能总结出判断一个函数是不是偶函数的步骤呢?(让学生讨论)

生:第一步,看定义域是否关于原点对称。

若定义域不是关于原点对称的,则f(x)不是偶函数;

若是关于原点对称的,则进行第二步。

第二步,检验f(-x)与f(x)的关系。

若f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数;

若f(-x)≠f(x),则函数f(x)不是偶函数。

师:同学们总结了判断函数是偶函数的步骤,下面我们看一个具体的例题。

(教师在黑板上展示例题:判断函数f(x)=x4+2在定义域为[-4,4]的区间上的奇偶性。)

(在教师和学生的共同讨论下,教师在黑板上展示判断过程。)

师:(问题六)同学们能用研究偶函数的方法类比研究下面两个问题吗?

1.奇函数的定义;2判断判断一个函数是奇函数的步骤。

(经过学生讨论,得到以下结论)

奇函数定义:如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),

那么称函数y=(x)是奇函数。

判断一个函数是奇函数的步骤:

第一步,看定义域是否关于原点对称。

若定义域不是关于原点对称的,则f(x)不是奇函数;

若是关于原点对称的,则进行第二步。

第二步,检验f(-x)与f(x)的关系。

若f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数;

若f(-x)≠f(x),则函数f(x)不是奇函数。

师:(问题七)通过前面的学习我们知道:函数有奇函数、偶函数、非奇非偶函数。

有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢?(同学们又陷入沉思)

这个问题留给同学们课外思考好不好? (学生齐声回答:好!)

师:本节课在同学们的积极参与下,我们通过讨论得出了奇函数、偶函数的定义以及判

断函数奇偶性的方法。感谢同学们的参与,谢谢。(本节课到此结束)

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