以学生为圆心、课标为半径，圆数学教学之理想

李建明

[摘 要] 数学课堂教学中一个比较普遍的问题是：教师习惯以高考为导向，不关注学生的拥有与需求，不注重课标的定位与要求. 这种教学应付考试是保险的，但于学生数学素养的提升是不利的，与课改的要求是相悖的. 本文以高三复习课为例阐述要提升学生数学素养，课堂教学须注意的几个方面：遵循认知规律，重整体强联系；强化数学阅读，突破理解障碍；把握问题本质，理解知识价值；善用思想策略，启迪数学智慧.

[关键词] 学生；圆心；课标；半径；数学素养

曾经听到一位重点中学的优秀毕业生在谈到对高三学年的学习体会时说：高三这一年的数学复习把人练笨了！这句话让笔者很惊诧，一直无法释怀，时时会想起.希望通过课堂复习教学让学生得到的思维训练、提升的能力素养都哪去了？为什么教学的理想与学生反馈的现实结果反差如此之大？带着这些疑问，笔者开始了观察与反思，发现在高三复习课中多数教师习惯于以高考为导向，高考考什么就重点复习什么，就让学生练什么，所以考试说明与复习用书成了教师的法宝，不关注学生的拥有与需求、不注重课标的定位与要求是现在复习课中一个比较严重的问题.本文谈点个人在高三复习教学实践中的一些做法与体会，欢迎批评指正.

[?] 遵循认知规律，重整体强联系

章建跃博士在一次报告中谈到学生对数学知识的理解遵循如图1的一个自下而上的过程，这个过程的本质是不断地抽象、概括，它的理想目标是从具体事物的个别规律——同类事物的普遍规律——数学整体上的思想观念.

但在实际数学课堂教学中，因各种客观原因，课堂教学就事论事的现象比较普遍，学生对知识系统的整体把握较差，对知识间的联系性掌握不清，对数学思想与观念的理解也不能到位，这些都直接影响到学生数学核心素养的提升.数学教学设计必须考虑到学生当前的数学学习需求，为学生铺设进一步发展的阶梯. 在高三复习教学设计中要注意学生所掌握的知识点与方法逐个积累的特点，要注重对知识进行系统性的梳理，确保学生能从整体性上把握知识体系，同时加强知识间联系性的梳理，有效弥补这一缺陷.

例1：已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是

f（x）

在区间[-1，1]的最大值，证明：当

a

≥2时，M（a，b）≥2.

分析：由f（x）=

x+

+b-，得对称轴为直线x=-，

≥1，故f（x）在[-1，1]上单调，

所以M（a，b）=max{

接下来的问题在于如何研究这两个数的绝对值的大小，那么首要的问题就是关于绝对值我们学了哪些知识？学生在回忆与讨论中提出来下列关于绝对值或与绝对值有联系的知识：

绝对值绝对值定义

分类讨论去绝对值

平方去绝对值

V字形函数

绝对值三角不等式

点线距离公式

那么这些知识与方法是否都可以用以解决这个问题呢？

思路1：绝对值定义，根据定义，此式可理解为数轴上动点1+b到两定点-

的距离之和，可知此距离之和有最小值2

≥4，可得M（a，b）≥2成立.

思路2：分类讨论去绝对值

当a≥2时，由f（1）-f（-1）=2a≥4，得max{f（1），f（-1）}≥2；

当a≤-2时，由f（-1）-f（1）=-2a≥4，得max{f（-1），-f（1）}≥2，

综上，当|a|≥2时，M（a，b）≥2.

思路3：平方去绝对值

f 2（1）=（1+a+b）2=1+a2+b2+2ab+2a+2b，

f 2（-1）=（1-a+b）2=1+a2+b2+2b-2a-2ab，

f 2（1）+f2（-1）=2（1+a2+b2+2b）=2a2+2（b+1）2≥2a2≥8，

則必有max{f 2（1），f 2（-1） }≥4成立.

思路4：V字形函数

思路5：绝对值三角不等式

根据抽屉原理，这两个数中至少有一个大于等于2.

思路6：点线距离公式

区域a≤-2或a≥2内的点到两直线距离和的最小值.

从上述分析思路可以看到：正是因为存在知识间的联系性，才有问题解决方法的多样性！

学生从高一、高二新课所接受到的知识与方法多数是零散的，学生所需求的是对知识的系统性理解，对知识与方法的联系性的把握. 如果学生对高中数学的每一章、每一个数学分支的知识的整体性与联系性都有这种清晰的认识与把握，那么他对数学的认知与理解就会越深刻，长此以往，学生的数学核心素养就能不断得到提升与培养，在问题解决过程中的知识与方法的运用才能做到得心应手.

[?] 强化数学阅读，突破理解障碍

学生在数学问题解决中的难度一般有两种：一是“深度难度”，指对知识点考核的深度比较大；二是“形式难度”，形式难度主要表现于题型上新颖，背景陌生或者符号化语言突出. 陌生的背景、创新的题型，学生不熟悉，所考的知识点虽然不难，但学生阅读理解时容易“发蒙”，对题意的理解存在障碍，影响答题. 另外符号语言的抽象性也会给学生阅读理解题意带来很大的障碍. 随着新课改的深入，这两年高考试题的一个趋势是“以形式换深度”，学生考试时感觉试题难，主要体现在“形式难度”上.

例2：设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x-x2），f3（x）=sin2πx，

ai=，i=0，1，2，…，99，记

Ik=fk（a1）-fk（a0）+fk（a2）-fk（a1）+…+fk（a99）-fk（a98），k=1，2，3，则（ ）

A. I1

C. I1

这是浙江省2014年高考第10题，学生初识此题真正感觉到的难度是整个题目只有5个中文字，高度符号化的语言所带给学生的抽象性让学生“头脑发蒙”，很多学生在考场中根本看不懂题目给了什么条件，要做什么事情，直接放弃. 数学描述客观事物的语言有三种：文字语言、符号语言、图形语言. 文字语言易懂，图形语言直观，符号语言简练，但符号语言的简练是源于它的抽象，而正是这种抽象又使学生在理解上带来困难. 教学上要重视符号语言的阅读理解，突破的方法主要有抽象符号具体化，符号语言图示化表格化.

例3：一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）.

已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，

x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，

x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，

其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0.

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.

此题的背景与高中数学知识几乎无关联，其难度不在于学生平时知识掌握的程度，更不在运算复杂上，而在于其背景知识的新颖性与陌生感，学生初读题目头脑中会冒出一系列问题：二元码是什么？码元错误是怎么回事？校验方程组有什么作用？一个码元错误的二元码如何判定错元是哪个呢？

[?] 把握问题本质，理解知识价值

经常听一些高三复习课，老师讲解得很精彩，学生也听得很认真，从练习的反馈看学生也掌握得不错，但如果问一些基本的数学问题，比如：本堂课为什么要学习这节内容？这节知识你认为有什么价值与作用？ 学生却无从回答.学生对课堂教学内容知识的接受停留在要我学我就学并努力学好的状态，而至于为什么要学，学了它有什么用之类的问题几乎没人会有思考.

例4：平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ，μ，使a=λe1+μe2.

定理表明了平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量表示出来，这为我们运用向量方法研究问题带来了极大的方便，这也是向量作为解决数学问题的工具的最为强大的功能之所在. 这是学生在本节课的学习中理应达成的目标，但在实际课堂教学中这一目标实现了吗？本人多次询问刚复习了这节课后的高三学生；平面向量基本定理有什么用？它有怎样的功能与价值？你对定理的强大功能与价值有体会吗？很多学生很茫然.

例5：关于“tanα=” 的功能与价值.

在三角函数定义学习之后我们会学习三个三角函数间的关系：sin2α+cos2α=1，tanα=.如果仅是停留于了解掌握这三种三角函数间存在这两种关系上，这对本节内容知识的本质的认知是不到位的，对该公式的功能与价值的教学是不足的，对学生数学素养的提升是欠缺的.比如公式“tanα=”，它反映了三种三角函数间存在这种特定的等量关系，同时作为一个公式，它的功能是可以像一座桥梁一样沟通左右，它的价值就在于可以实现“切与弦”之间的互相转化. 比如在解决问题“4cos50°-tan40°=_______（2013年重庆高考）”时学生就能迅速做出“切化弦”的决策；在遇到问题“已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α=________（2013年浙江高考）”时，就能提出“弦化切”的办法.

一个人只有了解把握所需研究问题的本质之所在，才能真正地理解问题并找到问题解决之突破口；同样也只有在明确所学知识的功能与价值之所在，才能更有兴趣更自主地学习这一知识，才能在问题解决的过程中更好地发挥这些知识的功能与价值.

[?] 善用思想策略，启迪数学智慧

数学是思维的体操，是智慧的化身.任何数学问题的解决过程中无不体现着问题解决者的思想、方法、策略与智慧，数学教学除了要传授给学生必要的数学知识外，更重要的是学生能在学习过程中学会主动地提出问题、学会积极地思考问题、学会灵活地运用数学方法、学会智慧地运用策略思想，特别地，如果能在今后的生活工作中把数学学习中沉淀下来的理性思维与智慧策略体现出来，这就是数学教育教学的真正成功，这需要数学课堂的长期熏陶.

例6：已知在△ABC中，sinA（sinB+cosB）-sinC=0，sinB+cos2C=0，求角A，B，C的大小.

分析：由A+B+C=π，与sinA（sinB+cosB）-sinC=0联立，

可消去一元，问题是消哪个元呢？

如果不做思考分析，随意消元（比如消A或B）就可能致使问题无法解决.

注意观察且三角公式熟悉度高的学生就能迅速做出判斷：消C是正道！

从而化简可得：sinA=cosA，A=；

于是B+C=，又sinB+cos2C=0.

同样的问题再一次出现：B，C两个量消哪个呢？是不是消任何一个都可以解决问题？是不是消任何一个运算的难度都一样呢？如果注意观察，可以发现如果消C，可以运用诱导公式从而简化运算过程.

很多问题的解决会有不同的方法选择，但也并不是一个问题的解决方法介绍得越多越好，不同方法之间必然存在知识与能力上的差异，对学生素养的培养与提高所起的作用也必然会有优劣之分，那么如何在不同方法面前不经历过程就能做出选择的策略，这就是我们需要学习与掌握的策略性知识.

例7：已知不等式x2-1≥a

对?x∈R恒成立，求a的取值范围.

分析：这是听一节课时一个例题的后半部分，当该例题讲到出现这个不等式时，学生被卡住了，这时教师提出了以下几个引导性问题供学生思考.

问题1：你看到的是什么？（面对的是什么问题？）

——不等式恒成立问题.

问题2：不等式恒成立问题一般运用什么知识研究？你有这方面的经验吗？

——不等式恒成立问题应该用函数思想来研究解决！

问题3：如果运用函数来研究该不等式，你会研究什么函数？你有不同的方法选择吗？

——方法1：移项整理，研究一个函数f（x）=x2-1-a

方法2：研究比较两个函数：f（x）=x2-1，g（x）=a

方法3：研究参数分离后得到的函数：f（x）=.

接下来老师问了个很有价值的思考问题：在考试状态下你会用什么方法来解决？这就要求学生在不经过验算过程的情况下做出决策采用哪种方法来解决这个问题会更优化，学生如果能经常有机会思考这种策略性的问题，能够有机会尝试做出最优化的决策，才能在学习与问题解决过程中有策略选择的意识与思考，长期坚持，学生的数学思维素养必将得到很好的培养与提升.

理想的高中数学教学活动要树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，创设有利于学生数学核心素养发展的教学情境，引导学生把握数学内容的本质，启发学生思考，学生通过三年的数学教学活动其理性思维得到良好的培养、其数学核心素养得到很好的提升. 为此，数学课堂教学特别是高三复习教学一定要立足学生，以学生的所学作为生长点，以学生的不足与需求为出发点来思考设计教学内容，以课标要求的范围与难度为尺度标准来把握教学，以发展学生数学核心素养的根本目标来定位评价教学.