圆锥曲线的包络形成法

2017-04-15 20:31刘一晨
课程教育研究 2017年7期
关键词:垂线连线重合

刘一晨

【摘要】一族平面直线的“包络”是指一条与这族直线中任意一条都相切的曲线。圆锥曲线可以以多种方式看作直线族的包络。本文对原有的包络方式进行推廣,使用解析几何的方法证明了圆锥曲线可以由定点和定圆(或定直线)连线的垂线的包络生成。然后,用平面几何的方法推广到了用和定点和定圆(或定直线)连线成定角的直线族包络生成圆锥曲线。最后,本文证明了用和顶点和定椭圆连线的斜率的乘积为定值的直线族的包络也可以生成有心圆锥曲线。

【关键词】圆锥曲线 包络

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)07-0121-02

1.引言

一族平面直线的“包络”是指一条与这族直线中任意一条都相切的曲线。

圆锥曲线与包络密切相关,张忠旺等证明了对圆锥曲线张直角的弦的包络还是圆锥曲线。余金荣等发现定点到定圆上一点中垂线的包络为椭圆或双曲线。李迪淼用更简洁的方法给出了文[1]中结论的证明并且提出了两个猜想,席高文否定了李迪淼的猜想并将问题推广为如下定理 :

定理1.1 已知点A是定点,点B是半径为R的定圆⊙O上的动点,P是分有向线段AB成定比λ(0<λ<1)的点,则过P且垂直于AB的直线l的轨迹是:

①圆(当点A重合于圆心B时)

②椭圆(当点A在⊙O内且不重合于圆心O时)

③双曲线(当点A在⊙O外时)

但是对于点P与点B重合的情况,文[4]未作讨论,并且之前的研究都集中在椭圆和双曲线[2][3][4]上,对抛物线的包络研究较少。

本文将以区别于文[1]的另一种方法对λ=+∞(即点P与点B重合)时的定理1.1②③进行证明,并对抛物线情况进行了补充。此外,本文还做了如下推广,将定理1.1中条件“过P且垂直于AB的直线l”改为“与过P点的AB的垂线成定角的直线l”后,定理依然成立;本文还将定圆改为定椭圆,并且将垂直条件进行修改,得到了推广的包络二次曲线形成法。

2.圆锥曲线的包络形成法

2.1 过圆上一点与该点和一定点连线成直角的直线族的包络

定理2.1.1 如图1,已知⊙O:x2+y2=a2,及圆内x负半轴上任意一点A(-c,0),过点A作直线AN交⊙O于点N,过N点作直线AN的垂线l,则当点N在⊙O上移动时,垂线l的包络线是椭圆。

本文在前人的基础上对圆锥曲线的包络形成法给出了另证和推广,给出了定点到定圆或定直线上一点的垂线的包络为圆锥曲线的证明,并将垂直推广为了成定角的情况。本文给出了通过定点与定椭圆的包络生成有心圆锥曲线的猜想。

同时,笔者猜想:当定理2.3.1中的椭圆改为圆锥曲线后,结论依然成立,此猜想还有待后人研究。

参考文献:

[1]余金荣, 胡燮. 苏教版教材一道操作题的探究与发现[J]. 语数外学习:数学教育, 2013(12).

[2]席高文. 有心二次曲线和有心二次曲面的包络形成法[J]. 大学数学, 2009, 25(1):157-162.

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