求一个曲线方程的多种解法

江苏省启东市汇龙中学(226200)

张仁华●

求一个曲线方程的多种解法

江苏省启东市汇龙中学(226200)

张仁华●

本文以一个典型问题为例，从角、斜率、极坐标等五个不同的角度，分析求解曲线方程，运用联系、变化、发展的数学思想方法，分析总结求解曲线的极坐标方程和参数方程的方法.

曲线方程;普通方程;极坐标方程;参数方程

一般地，求解曲线方程的步骤是：

①建立适当的坐标系，设曲线上任一点M的坐标；

②写出适合条件的点M的集合；

③用坐标表示集合，列出方程；

④化简方程为最简形式；

⑤证明所得的方程是曲线的方程.

其中步骤②是个难点，它需要运用数学知识，利用联系、变化、发展的观点，观察并解决这个问题.

题目 过定点A(-2，0)，作任意直线交y轴于B点，在直线上取一点P，使|BP|=|OB|，求点P的轨迹方程.

方法一 以角为参数，求出点P的参数方程，再将其化为普通方程.

解 如图，设轨迹上任意一点P(x，y)，取∠DAP=θ，θ为参数，过P作PD⊥x轴于点D，过B作BC⊥PD于点C.

在Rt△AOB中，|OB|=|AO|tanθ，则

x=|OD|=|BC|=|BP|cosθ=|OB|cosθ=2tanθcosθ=asinθ.

y=|DP|=|OB|+|CP|=|OB|+|BP|sinθ= 2tanθ(1+sinθ).

因为x+2≠0，所以(x-2)y2+x2(2+x)=0，即x3+xy2+2x2-2y2=0.

所以点P轨迹的普通方程为x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法二 以直线AB的斜率k为参数，列出方程，然后消去k，将其化为普通方程.

解 设P(x，y)，直线AB的斜率k，则l：y=k(x+2)，令x=0，得y=2k，则B(0,2k).

所以BP2=x2+(y-2k)2=OB2=(2k)2，所以x2+y2-4ky=0.

所以点P轨迹的普通方程为x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法三 利用直线AB的参数方程，列出点P的参数方程，再将其化为普通方程.

想要灵活运用参数方程解题，首先必须理解参数的几何意义，尤其直线的点角式参数方程中参数的几何意义要深刻理解，否则就不能很好地运用.

所以ycosα=2(1+sinα)sinα，即y2cos2α=4(1+sinα)2sin2α，

所以点P轨迹的普通方程为x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法四 利用曲线的极坐标方程，先求出点P的极坐标方程，再将其化为普通方程.

所以2cos2θ=ρcosθ.

因为ρ=0，满足上式，所以2(x2-y2)=(x2+y2)x，

所以点P轨迹的普通方程为x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法五 利用曲线的极坐标方程和三角形面积公式，列出点P的极坐标方程，再将其化为普通方程.

所以4y2=2(x2+y2)+(x2+y2)x，即x3+xy2+2x2-2y2=0.

所以点P轨迹的普通方程为x3+xy2+2x2-2y2=0.

评析 求极坐标方程，有时常用三角形面积列方程，化简求解.

总之，数学中的参数有一种活力，它能分散难点，化难为易，灵活运用参数是解题能力的一种提高，并能从中培养分析问题的能力.

通过上面这个题目的展示，我们可以体会到，对待问题要运用联系、变化、发展的观点分析问题，突破难点，使得思路变得简单统一.我们平时在指导数学学习和数学教学时，若能多分析、解剖数学内容和教学过程，清晰、辩证地讲解数学演绎的逻辑过程，就可以使学生在数学学习中避免失误，少走弯路.只有透彻明了地看待数学问题的思路，才能掌握好数学的思想和精神.

[1]单墫.普通高中课程实验教科书·数学2(必修)[M]. 第4版.南京:江苏教育出版社,2012.

[2]单墫.普通高中课程实验教科书·数学2-1(选修)[M]. 第3版.南京:江苏教育出版社,2012.

[3]单墫.普通高中课程实验教科书·数学4-4(选修)[M]. 第3版.南京:江苏教育出版社,2012.

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1008-0333(2017)07-0012-02