借助几何直观 挖掘数学本质
——以“平均数”教学为例

◇魏先玲 孙明岩 张维国

“平均数”一课是北师大版教材四年级下册第六单元“数的表示和分析”中的内容。对于平均数的概念，学生的经验并不多。因此，我们设计了如下教学过程。

一、借助几何直观，引领学生思考

课始，出示教材中的情境（如图1），结合淘气5次游戏所记住的数字个数统计表，讨论问题“淘气能记住几个数字”及“平均每次记住6个数字是怎么得出来的”。在讨论问题时，我们借助几何直观，通过摆一摆、画一画、算一算等方法，引导学生由浅入深理解平均数的含义。

图1

1.摆一摆。

解决问题“平均每次记住6个数字是怎么得出来的”时，教师先鼓励学生“摆一摆”，把自己的想法摆出来，希望能看到学生的思维过程。果然，在摆的过程中，学生出现了不同的思维水平，大致有以下几种情况。

摆法1：有的学生无序地摆圆片，摆着摆着自己都糊涂了。

摆法2：有的学生能够先把最多的移给最少的，最后再去找相等。

摆法3：有的学生采用一边摆一边尝试的方法，不断进行调整。

摆法4：有一个学生，先把所有圆片都收起来，然后给每一次先分一个圆片，一直这样分下去，直到分完。

……

师：谁来说一说你是怎么摆的？摆的时候遇到了哪些困难？

生：摆着摆着就乱了，不知道怎么摆了。

师：怎么是乱的？

生：我不知道该如何调整，才能得出6。

生：我把所有圆片都收起来，放在一起一个一个地摆，最后就得到了6。（学生上台一个一个摆，基本上是按照均分的方法进行的）

师：还有别的方法吗？

生：我是把多的给少的，这样一匀就得出了平均数6。

……

在巡视的过程中，教师将学生出现的这些情况，根据内容需要，有序地安排他们进行全班汇报，可以感受到学生的思考由浅入深。正是借助摆一摆这种直观的方法，学生一步一步认识到平均数是怎么来的，平均数是什么。

2.画一画。

师：如何把刚才摆的过程画下来呢？请在“淘气记数情况统计图”中，把自己的想法画出来。

（根据学习要求，学生独立完成，教师巡视）

师：谁来说说自己的想法？

生1：我是用○表示淘气记住的数字个数。我先把淘气每次记住的数字个数记录下来，一个△表示记住一个数字，再用箭头把多的补给少的（如图2）。

图2

师：对他的方法，大家有什么问题要问吗？

生：我觉得可以用虚线画出○表示多的补给少的，如淘气第一次记住5个数字，可以在最上面画一个虚线○，表示补给第一次1个。

生：我觉得这样看起来比较好，就能直接看到6了。

生：这样，虽然6没有出现在这个表格里，但它是这些数的中心。

生：这样一移动，就均匀了。

从学生画图的痕迹来看，大部分学生能够运用移多补少的方法寻找平均数。在画图这一直观表示方法的帮助下，学生说出了“虽然6没有出现在这个表格里，但它是这些数的中心”这样的话。“中心数”就是学生心目中这组数据集中趋势的体现，这在一定程度上说明学生对平均数的本质有了一定的认识。

3.算一算。

如何通过计算得到6呢？在移多补少的过程中，不少学生体会到可以直接把这5个数加起来，再除以5，就可以算出平均数6（如图3）。计算方法比前面两种表示方法更加抽象，不容易理解。

图3

为此，教师将这种方法与前面的摆法4对照，先把全部圆片都收回来，再一个一个地分下去，算式与摆的过程联系起来，大家非常容易理解这个学生的方法就是我们列算式的直观过程！这样的过程，也是一个数形结合的过程，一个几何直观的品悟过程。

二、步步深入提问，挖掘数学本质

1.问题1：关于平均数，你有什么想问的吗？学生提出了许多问题：平均数是什么呢？生活中哪些地方可以用到平均数？平均数是怎么计算的呢？平均数能帮我们什么忙呢？小数的平均数该怎么求？除不尽的时候怎么表示平均数？……

这是学生与平均数的初次见面，这些问题虽然都是从学生思维的角度出发，却都直指核心。

2.问题2：在完成记数游戏之后，提出“淘气能记住几个数字呢”。鼓励学生通过摆一摆、画一画、算一算等活动作出说明。从学生的摆法、画法及对其方法的说明中，我们可以感受到：借助几何直观，他们已经初步认识了平均数，为进一步体会平均数的内涵和本质打下了基础。

3.问题3：通过机灵狗的问题“淘气哪一次也没有记住6个数字！这是怎么回事”，引出学生对“平均数到底是一个什么样的数”的交流探讨。

师：通过刚才的学习，你认为平均数是一个什么样的数呢？

生：平均数是平均分的数。

生：平均数是一个公平的数。

生：平均数是把每个人分到的东西都给平均了，每人分得一样多。

师：关于平均数，还有什么问题要问吗？

生：我问的还是刚才的问题，6是从哪里来的？

师：这个问题真好，我也一直在想呢。请看“淘气5次记住数字的情况统计表”中，有没有6？

生：（齐）没有。

师：那么，6是从哪儿来的？

生：6在这些数中是中心数，虽然6没有在这里面，但是这些数都是以它为中心的。

生：多的给少的，这样6就出现了，淘气每次记住的数都平均了。

师：也就是说，6可能出现在这个表格里，也可能不出现在这个表格里，但它是这组数据平均水平的代表。它比最大的数要小，比最小的数要大，这就是平均数的特点。

此环节进一步引领学生理解平均数的含义，感受平均数是表示数据集中趋势这一特征的数。