对一道期末考试题的研究与拓展

☉浙江绍兴市柯桥区平水镇中 沈岳夫

对一道期末考试题的研究与拓展

☉浙江绍兴市柯桥区平水镇中 沈岳夫

对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事，通过研究把蕴含其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出隐含的问题的本质属性.不但可以提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的思维技能，优化数学思维品质，而且可以培养学生探索创新的能力.本文以嵊州市2016学年第一学期期末学业成绩调研测试八年级数学试题第26题（压轴题）为例，作一些探索.

一、试题呈现

题目：已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，点D是边BC上的一个动点（不运动至点B、C），点E在BC所在的直线上，连接AD、AE，且∠DAE=45°.

（1）若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连接AF、CF、DF、EF.

①求证：△ABD≌△ACF；

②若BD=1，DE=2，求CE的长.

图1

图2

此题以直角三角形为依托，全面考查全等三角形、轴对称图形及勾股定理等知识点，综合性较强.在中考复习时，笔者选择此题作为家庭作业，结果在批阅时大大出乎我的意料，发现第（2）题“卡壳”现象较严重，不少学生无从下手.那么该题如何解？有何规律？笔者愿以此文与各位同仁探讨.

【评析】这是一道典型的两边相等的大角夹其半角的试题，即两个图形中同一个顶点上的两个角有倍半关系，且倍角的两邻边相等.只要抓住变中不变的本质，就会使题目的证明迎刃而解.三个问题难度由浅入深，层层递进，学生的思维需要拾级而上，三个问题所表现的功能泾渭分明，清晰可见，问题之间确立的关系起承转合，水到渠成.第（1）题中的第①问谓“起”，问题的起源，起点低，容易上手，激发了学生进一步探究的信心；……