转化与化归在高中数学中的应用

谢勇华

数学中的转化与化归思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法.转化与化归的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决.在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决.下面结合实例介绍转化与化归思想的应用与常用的转化方法.

一、高维与低维的转化与化归

在数学解题中，对立体几何问题（三维）常常需要化归到熟知的平面几何问题（二维），化归的手段主要有平移、旋转、展开、射影和截面等；对于高次方程或不等式常常需要化归到熟知的一次方程或不等式的求解，化归的手段是降次.

例1. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.

解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD？奂平面ABCD，∴PA⊥BD.

又∵PC⊥平面BDE，BD？奂平面BDE，∴PC⊥BD，

而PA？奂平面PAC，PC？奂平面PAC，且PA∩PC=P，

∴BD⊥平面PAC.

（2）∵BD⊥平面PAC，AC？奂平面PAC，

∴BD⊥AC，于是矩形ABCD是正方形，

AB=AD=2，AC=BD=2■=2OC=2OB.

由PC⊥平面BDE，BE，OE？奂平面BDE，

∴BE⊥PC，OE⊥PC.

于是∠BEO是二面角B-PC-A的平面角，

又BO⊥平面PAC，OE？奂平面PAC？圯BO⊥OE，

从而tan∠BEO=■.

易知PA⊥AC，在Rt？驻PAC中有：PC=■=3，

在Rt？驻OEC中，OE=OC·sin∠ACP=OC·■=■×■=■，

于是tan∠BEO=■=■=3，从而二面角B-PC-A的平面角的正切值为3.

点评：在立体几何中常将面面垂直转化为线面垂直、线面垂直转化为线线垂直，将空间中的二面角、斜线与平面所成角转化为平面上的角来求解.

变式1.“神舟六号”飞船上使用一种非常精密的滚球轴承，如图所示，该滚球轴承的内外圆的半径分别为1mm、3mm，则这个轴承里最多可放滚珠 个.

解析：如图，设两滚球P，Q相切于点，轴承中心为O，连接OT，设滚球半径为d，内、外圆半径分别为r、R，则R=3，d=r=1.

在Rt？驻OTP中，∠POT=■，OP=2，PT=1，

则有sin■=■=■，得？琢=2×■=■，即在圆心角为■的轨道内， 可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）时可放的滚珠为■=■=6个.

点评：本题考查了球体知识的相切问题，通过作轴截面将空间立体图形问题转化为平面图形问题，利用平面几何的知识得以顺利解决.

二、数与形的相互转化与化归

在数学解题中，一方面，许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法.这就是数形结合的相互转化.数与形转换常有三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将■转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数（式）与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.

例2. 设函数f（x）=-a+■，g（x）=ax+a，若恒有f（x）≤g（x）成立，试求实数a的取值范围.

解析：由题意得f（x）≤g（x）？圳■≤ax+2a，令 y1=■……①

y2=ax+2a ……②

①可化为（x-2）2+y21=4（0≤x≤4，y1≥0），它表示以（2，0）为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点（2，0），以a为斜率的直线，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了（如图所示）. 当直线与半圆相切时就有■=2，即a=±■，由图可知，要使f（x）≤g（x）恒成立，实数a的取值范围是a≥■.

点评：本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.

变式2.（衡水中学2017届高三上学期一调理科）若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（ ）

A. ■ B. 2 C. 2■ D. 8

解析：因为（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，所以b=3lna-a2，且d=c+2，设b=y，a=x，则有y=3lnx-x2，由d=c+2，设d=y，c=x，则有y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2表示曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2上两点间距离的平方值. 求（a-c）2+（b-d）2的最小值即曲线上一点到直线距离最小值的平方.

对y=3lnx-x2求导，得y′=■-2x，與直线y=x+2平行的切线斜率k=■-2x=1，解得x=1或x=-■（舍去），故切点坐标为（1，-1），则切点到直线y=x+2的距离为L=■=2■，所以L2=8，即（a-c）2+（b-d）2最小值为8. 故选D.