采用随机矩阵理论的水声阵列SMI-MVDR空间谱估计技术*

郭 拓，王英民，张立琛（西北工业大学航海学院，西安 710072）

采用随机矩阵理论的水声阵列SMI-MVDR空间谱估计技术*

郭 拓，王英民，张立琛
（西北工业大学航海学院，西安 710072）

对角加载MVDR技术是一种经典的空间谱估计技术，在水声阵列信号处理中有着广泛的应用。该技术之所以具有较好的性能是由于其通过对角加载使样本协方差矩阵的特征值分散度减小。提出了基于随机矩阵理论的MVDR空间谱估计技术，具体思路是利用随机矩阵特征值的极限性质实现样本协方差矩阵噪声的抑制，以达到类似对角加载能够实现的特征值分散度减小的效果。仿真表明所提出的方法与对角加载方法达到了同样的目的，且当快拍数一定，而信噪比由小变大时，该方法可以达到与对角加载MVDR技术相当的性能；当信噪比设为定值，快拍数由小变大时，其与对角加载技术具有相同的DOA估计成功概率变化趋势，且在小样本情况下，此方法优势较为明显。

声学，随机矩阵理论，最小方差无畸变响应，样本协方差矩阵，波达方向

0 引言

水听器阵列比单个阵元具有更好的指向性，因此，可以更好地确定目标信号的入射方位，同时也可以将输出信噪比提高到一个与阵元个数成正比的倍数。故其被广泛地应用于主被动声纳系统中。空间谱估计技术是水声阵列信号处理中的常用手段，经过几十年的发展，已经形成了两类技术，即基于波束形成的技术和基于子空间分解的技术，波束形成技术典型的有常规波束形成器（Conventional BeamForming，CBF）和最小方差无畸变响应（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）波束形成器；基于子空间分解技术的空间谱估计算法有多重信号分类（Multiple Signal Classification，MUSIC）和旋转子空间不变法（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）等［1］。

MVDR算法最早于1969年由Capon［2］提出，是一种经典的数字波束形成技术，也可以用于相干信号的DOA估计，只是分辨力不是很高。应用该算法当快拍数目小时，对协方差矩阵的估计存在误差，会出现很大的特征值散布，大特征值及对应的特征向量能够较快收敛［3］，小特征值及其特征向量存在较大的扰动，且小特征值对波束形状的影响较为明显，随着快拍数目的增大，小特征值逐渐收敛于噪声的期望值，特征值分散减小，波束形状也有明显的改善。故如果能实现特征值分散的最小化，则可以减少随机形状的噪声特征波束的影响，而1988 年BLAIR D.CARLSON［4］提出的基于MVDR的对角加载（Diagonal Loading，DL）技术能够做到这一点。实际运用中一般是用采样点协方差矩阵估计基阵协方差矩阵，并将采样矩阵求逆（Sample Matrix Inversion，SMI）技术与MVDR相结合进行空间谱估计。

随机矩阵就是由某些概率空间下的随机变量作为元素的矩阵［5］，随机矩阵理论（Random Matrix Theory，RMT）起源于核物理，目前应用于理论物理，数论，组合，统计，金融数学，生物工程以及无线通信上［6］。其主要研究在满足某些条件时随机矩阵的特征值和特征向量的性质，如样本协方差矩阵的经验谱分布，以及样本协方差矩阵最大特征值及最小特征值的极限等。本文基于随机矩阵理论利用样本协方差矩阵特征值极限的性质实现样本协方差矩阵噪声的抑制，以达到对角加载能够实现的特征值分散的最小化，用于水声阵列采样求逆MVDR空间谱估计技术。

1 阵列接收信号模型及基于MVDR的波束形成器

1.1 阵列接收信号模型

如图1所示，水平线阵由N个阵元组成，假设有D个相互独立的平面波入射，阵列第k次快拍X（k）的输出如式（1）所示。

图1 阵列接收信号模型

1.2SMI-MVDR与DL-MVDR波束形成器

MVDR波束形成算法的基本思想选取合适的权向量w，构造成约束最优化问题，即在期望方向上形成一个单位幅度的约束下，使基阵的均方输出能量最小，这个最优化问题的数学描述为:

利用拉格朗日乘子法，求得最优权向量为

对角加载是在协方差矩阵R上加载一因子，即RDL=R+αI，其中I为单位矩阵，α为加载因子，许多学者研究如何确定对角因子。则对角加载MVDR （DL-MVDR）波束形成器输出的空间功率谱为:

2 基于随机矩阵理论的空间谱估计技术

2.1 随机矩阵理论研究中的简化样本协方差矩阵

设Xm=（xij）n×m，1≤i≤n，1≤j≤m，是来自维数为n的总体的样本容量为m的一个n×m的观测矩阵，xj是Xm的第j列，则下列矩阵Sm称为样本协方差矩阵，这里

在大维样本协方差矩阵的谱分析中，随机矩阵理论研究通常仅考虑下面简化的样本协方差矩阵Bm，其定义为:

2.2RMT-SMI-MVDR空间谱估计技术

使用式（8）的简化样本协方差矩阵估计得到的样本协方差矩阵为，将做谱分解，表示为=UTU-1。其中T是以的特征值作为对角线元素的对角矩阵，U是以特征值对应特征向量构成的矩阵；T对角线上的元素，从小到大排列为

令N为阵元数，M为采样数，由随机矩阵理论可知N/M→c∈（0，∞）时，大维样本协方差估计矩阵Bn的经验谱分布以概率1收敛一个极限谱分布，其密度函数为:

基于随机矩阵理论的样本协方差矩阵求逆最小方差无畸变响应（RMT-SMI-MVDR）空间谱估计技术的空间功率谱为:

3 快拍数与信噪比对空间谱估计的影响

3.1 基于RMT去噪实现特征值分散的最小化

对角加载技术能够实现特征值分散的最小化，基于RMT的去噪也可以特征值分散的最小化。本节通过仿真验证RMT去噪也可以实现特征值分散的最小化。

仿真假设10元均匀线阵，有两个信号分别从20°和35°方向入射，频率皆为f=2 000 Hz，快拍数为14。图2分别从左向右给出样本协方差矩阵特征值的原始分散情况，基于随机矩阵理论去噪后的特征值分散情况，对角加载后的特征值分散情况，图中纵坐标为特征值，横坐标假设为1。从图1可以发现原始样本协方差矩阵的特征值分散度较大，对角加载后的特征值分散度比其小，基于随机矩阵理论去噪的特征值分散度最小。故基于随机矩阵理论的空间谱估计可以达到对角加载类似的效果。

图3为RMT-SMI-MVDR空间谱估计技术得到的空间谱，以及基于对角加载的空间谱。由图可知基于随机矩阵理论的空间谱估计技术可以得到与基于对角加载MVDR相当的空间谱。

图2 特征值分布图

图3 空间谱对比

3.2 信噪比对RMT-SMI-MVDR DOA估计概率的影响分析

本节研究快拍数固定，DOA估计成功率随信噪比变化时的情况。仿真假设128元线阵，4个相关信号从-40°，-30°，-20°和-10°方向入射频率为5000Hz，样本数为65，对每dB做1 000次monte-carlo实验。对角加载的加载噪声级LNR=10 dB［9］。图4为其仿真结果，从中可以得出基于随机矩阵理论MVDR空间谱估计随着信噪比变大可以达到与对角加载MV-DR技术相当的性能。基于随机矩阵理论的MVDR空间谱估计有望成为一种新的空间谱方法，且与对角加载MVDR相比，本方法使用协方差矩阵的极限谱作为阈值进行噪声抑制，不用费尽周折寻找最适合的加载因子。

图4 DOA估计成功概率随信噪比变化趋势

3.3 快拍数对RMT-SMI-MVDR的影响分析

样本协方差矩阵是由有限样本估计所得，快拍数自然会影响到空间谱估计的性能，本仿真快拍数在3～639之间改变，步进值为3，每一种快拍数做1 000次monte-carlo实验。图5为不同快拍数时对角加载MVDR与基于随机矩阵理论的MVDR空间谱估计成功概率对比，图6为空间谱估计角度的均方根误差（RMSE）。仿真假设64元线阵，4个相关信号从-40°，-30°，-20°和-10°方向入射，频率为5 000 Hz，信噪比为10 dB。从图5可以得出两种空间谱估计技术随快拍数增大，趋势一样，即都有一个下降趋势，随快拍数增大，成功率都接近于1，这是由于随着快拍数增大，样本协方差矩阵估计误差减小，得到了更为稳定的样本协方差矩阵；基于随机矩阵理论的空间谱估计成功概率在快拍数较小时，依然很高，且随着快拍数增加光滑下降，然后会有很大的震荡；对角加载MVDR在快拍数很小时估计成功概率较另一算法小，且震荡严重，说明不稳定。从图6更加明显得出，在小样本时对角加载MVDR算法震荡严重，即不稳定，而基于随机矩阵理论的MVDR误差较小且稳定。二者的不稳定及在快拍数较大时趋于稳定且成功率接近于1，是可以用随机矩阵理论解释清楚的，随机矩阵理论研究已经表明样本协方差矩阵误差较小的条件是样本数远大于维数，且随着样本数的增大非稳定性会给协方差矩阵估计产生越来越大的影响，且非稳定性主要体现在特征值上，而特征向量波动不大。且从图5、图6可以得出一个很有意义的结果就是基于随机矩阵理论的MVDR空间谱技术适合于小快拍空间谱估计应用场景，适合于水下快速运动阵列小样本定位，如鱼雷等。

4 结论

在做空间谱估计时，通常情况样本协方差矩阵可以通过简化的形式直接估计出来，但为何可以通过简化形式估计样本协方差矩阵，这其中的原因及理论基础值得思考及研究。通过本文研究笔者认为随机矩阵理论应该是其理论基础，具体依据是随机矩阵理论研究的已有结论:简化估计矩阵与样本协方差矩阵具有相同的极限谱分布。

图5 DOA估计成功概率随快拍数变化趋势

图6 空间谱估计角度的均方根误差随快拍变化趋势

简化样本协方差矩阵与样本协方差矩阵具有相同的极限谱分布，故本文首先对简化样本协方差矩阵做谱分解；然后基于随机矩阵理论使用其最大特征值的极限作为上界，将小于此上界的特征值皆当作噪声，并用小于此上界特征值的均值替代；最后由替代后的特征值对角矩阵和上面谱分解所对应的特征向量相乘，得到新的样本协方差估计矩阵，使用MVDR做空间谱估计。仿真表明本文提出的基于随机矩阵理论特征值极限抑制噪声的方法与对角加载方法达到了同样的目的，即使样本协方差矩阵特征值的分散化最小。当快拍数一定信噪比由小变大，通过仿真表明基于随机矩阵理论MVDR空间谱估计技术可以达到与对角加载MVDR技术相当的性能。当信噪比固定时，例如10 dB，本文提出的方法与对角加载技术具有相同的DOA估计成功概率变化趋势，且在小样本情况下，本文提出的方法优势较为明显。

基于随机理论的MVDR空间谱估计技术有望成为一种新的空间谱方法，且与对角加载MVDR相比，其使用协方差矩阵的极限谱作为阈值进行噪声抑制，不用费尽周折寻找最适合的加载因子；且得出一很重要的结果是本文提出的方法适合于小快拍空间谱估计，这对于水下快速运动阵列小样本定位具有良好的应用价值。

［1］王永良，陈辉，彭应宁，等.空间谱估计理论与算法［M］.北京:清华大学出版社，2004:2-5.

［2］CAPON J.High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis［J］.Proceedings of the IEEE，1969，57（8）: 1408-1418.

［3］乔永雯.大孔径拖线阵的自适应波束形成研究［D］.西安:西北工业大学，2007:34-37.

［4］CARLSON B D.Covariance matrix estimation errors and diagonal loading in adaptive arrays［J］.Aerospace and Electronic Systems，IEEE Transactions on，1988，24（4）: 397-401.

［5］许林.高维协方差矩阵结构检验［D］.长春:东北师范大学，2014:1-2.

［6］曾杏元.生成于四种流形上的大维随机矩阵的谱分布［D］.长沙:中南大学，2013:1-6.

［7］王小英.大维样本协方差矩阵的线性谱统计量的中心极限定理［D］.长春:东北师范大学，2009:2-8.

［8］李冰娜.基于RMT去噪法股票投资组合风险优化研究［D］.哈尔滨:哈尔滨工业大学，2013:45-46.

［9］鄢社锋，马远良.传感器阵列波束优化设计及应用［M］.北京:科学出版社，2009:53-62.

Underwater Acoustic Array SMI-MVDR Spatial Spectral Estimation Based on Random Matrix Theory

GUO Tuo，WANG Ying-min，ZHANG Li-chen
（School of Marine Science and Technology，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China）

Minimum variancedistortionless response（MVDR） withdiagonalloading is a conventional spatial spectrum estimation method，it has a wide application in underwater acoustic array signal processing.The good performance of the above method is attributed to it reduce the eigenvalue spread of sample covariance matrix by diagonal loading.The underwater acoustic array sampling matrix inversion（SMI）minimum variance distortionless response（MVDR）beamforming technique is proposed based on random matrix theory（RMT），limit properties of RMT eigenvalue is used to noise suppression of sample covariance matrix，in order ot reach the same performance as diagonal loading，namely reducing the eigenvalue spread of sample covariance matrix.Simulation results show that the proposed method has achieved the same performance as diagonal loading，as a certain number of snapshots and signal to noise ratio（SNR）from small to large.At the same time，when the number of snapshots from small to large，and SNR set value，it has the same trends of success probability of DOA estimation，and in the case of small sample，the advantages of the proposed method are obvious.

acoustics，random matrix theory，minimum variance distortionless response，sample covariance matrix，direction of arrival

TB566

A

1002-0640（2017）03-0045-04

2016-02-08

2016-03-05

国家自然科学基金资助项目（61401362）

郭 拓（1986- ），男，陕西延安人，在读博士。研究方向：水下阵列信号处理，目标被动定位，稀疏信号处理。