浅谈电源输出功率随路端电压的变化

胡伟军

电源的输出功率的表达式为P=UI，如果仅仅由公式的形式来看，认为P与U成正比，那就错了，应为U和I都随外电路电阻的变化而变化。要了解P随U的变化关系，就得找到P和U的函数关系，对此分析如下：

由公式ε=U+Ir，把电流I= 带入整理

可得： P= + U （1）

上式中P为电源输出功率，U为路端电压，ε和r为电源电动势和电源内阻，由此可见，P跟U成二次函数关系，应为U2的系数是负值，所以P-U图像是一条开口朝下的抛物线，而且P有最大值。要得到P的最大值，我们可以对（1）式配方

可得：P= （U- ）2+ （2）

由（2）式可见当U= 时，P有最大值为 ，这与我们课本上面所得到的结论是一致的，课本上是用P与R的关系得出的，当R=r时P有最大值为 ，实际上当R=r时也就是U= 时。

根据（1）式及Pmax= 做P-U曲线，如图所示。由图像可知，U=0，P=0表示短路状态的输出功率为零，此时电源的功率全部在内电路消耗，当0

从图像中还可以看出，跟同一输出功率相应的有两个不同的路端电压，而且这两个电压之和等于电源电动势。即U1+U2=ε，如U1= 和U2= 时的对应功率相等。最明显的是P=0时U1=0，U2=ε則U1+U2=ε，而对上述结论的证明如下：

将（1）式变为 - U+P=0 （3）

当P为一定值时（3）式为关于U的一元二次方程，其解为：

U= ±

因为P≤ ，所以U1= + 及U2= - 都是（3）式的解。

由上式可得：U1+U2=ε。

所以可以证明，当P一定时有两个电压值对应，且U1+U2=ε。

由于U、I的变化是由外电阻的变化引起的，所以某一恒定的输出功率也有两个不同的外电阻R1、R2与之相对应，且R1、R2满足的关系满足R1R2=r2。而对此结论的证明可以根据U1+U2=ε进行变换得出。

因为 U1=IR1= R1 U2=IR2= R2

所以 R1+ R2=ε

等式两边同乘以（R1+r）（R2+r）后，经整理可得R1R2=r2。

例1： 如图所示，电路中电池的电动势E=5V，内电阻r=10Ω，固定电阻R=90Ω，R0是可变电阻，在R0从零增加到400Ω的过程中，求：