云计算技术在美式期权定价中的应用

刘源++张金燕

摘 要 美式期权由于允许期权持有人在期权到期日之前的任何时刻执行期权，其定价过程复杂。云计算是一种新型的超级计算方式，在数据存储、数据管理等多方面具有自身独特的技术，符合美式期权定价的数据密集型属性。本文就是采用云计算技术构建一个分布式环境，通过并行化算法，并产生大量模拟数据，来解决美式期权的定价问题。

【关键词】云计算 并行化 美式期权

期权是一种广泛的金融衍生产品，它即是一种投资手段，也能帮助买方规避风险。其中美式期权允许期权持有人在期权到期日之前的任何时刻执行期权，所以其定价过程十分复杂，运算量及数据规模都极端庞大。云计算技术的迅速发展为这一课题提供了良好的运算环境与条件。

1 美式期权的定价方法

目前对于期权定价的方法有Black-Scholes期权定价方法和蒙特卡罗模拟方法等。前者给出显式解，但只适用于某些比较特定的情形。蒙特卡罗模拟方法是一种在期权定价上非常有效的数值方法，近年来许多研究也是针对蒙特卡洛方法开展的。蒙特卡洛方法可以模拟多标的资产的价格路径，从而克服了二叉树模型和有限差分模型不能为多标的资产期权定价的问题。最小二乘蒙特卡洛方法 （LSM）能模拟多资产标的价格，同时又能解决提前执行期权的问题。为了使定价结果尽可能的准确，在使用蒙特卡罗方法时应尽可能多的产生样本路径数据，以保证定价的可靠性。但是大数据量产生同时也带来运算困难的问题，因此可以考虑采用分布式的云计算模型来实现。

2 LSM模拟算法的实现步骤

LSM模拟方法是根据标的资产价格的模拟样本路径在每个时刻的截面数据，利用最小二乘法回归求得继续持有期权的期望收益，并将其与该时刻立即执行期权的收益相比较，如果后者大于前者，则立即执行期权。具体实现步骤如下文所述。

2.1 生成标的资产价格样本路径

根据期权理论，我们假设期权的到期日为T，执行时间为T*，则对欧式期权而言，T=T*，即期权只能在到期日执行；对美式期权而言，T*∈[0，T]，即期权可以在到期日前的任意时刻执行。期权在执行时间T*的价值为：

通过随机抽样对公式f进行求解，从而得到期权价值的一种数值方法。因此，价格路径的生成就显得非常重要。给定发行日的标的资产价格为S0，任意时刻ST标的资产价格为：

其中δ是标的资产的价格波动率，由公式2可以得到标的资产价格的一条样本路径，经过M次模拟，就可以得到样本路径矩阵P。

2.2 最优执行时间和期权受益的计算

在每条路径上，LSM方法通过逆向求解，从期权到期日开始，通过回归得到一个当前标的资产价格的多项式，我们将样本路在时刻i的价格Si作为X值，将对应的样本路径上的未来期望收益的贴现值作为Y值，并采用多元线性回归的方法：

为了求解每条样本路径上的最优执行时间和相应的期权收益，我们从到期日开始考虑，期权执行的条件是执行期权当且仅当期权是溢价的，同事还要考虑继续持有期权至到期日的期望收益的贴现值，如果它小于X- Sn-1，则立即执行期权，否则，继续持有期权。我们仅以那些在N-1时刻处于溢价的样本路径为基础进行回归。以N时刻的收益在N-1时刻的贴现值作为Y值，Sn-1作为X值，采用曲线拟合，就可求的各项系数，然后再求出此时的未来预期收益，然后决定此时是否执行期权，以此类推，即可计算出执行时刻和收益的贴现值。

3 算法并行化设计

为了充分利用云计算技术强大的运算能力，需要多整个期权定价的计算过程进行并行化设计。最终选择在每一步的最小二乘法回归处进行并行化处理，每一步的最小二乘法采用公式3进行拟合，则问题等价于求解矩阵（XTX）β=XTy。

本论文选择使用开源的Hadoop平台实现算法。Hadoop平台对于矩阵的运算具有显著优势。Map函数负责将每一条价格路径作为一条记录提交提交给节点，节点对这些价格路径求解矩阵， Reduce函数负责将所有矩阵的对应元素相加，得到XTX矩阵。与此类似，XTy也用相同的方法求得。在求出这两个矩阵之后，利用多元线性回归，求得最小二乘法的系数向量，进而倒推得出最终期权价格。

4 测试结果及结论

测试平台选择Hadoop集群的MapReduce模块，一个NameNode，3个DataNode，对比测试环境使用单机MATLAB。为了使定价结果尽可能的准确，在使用蒙特卡罗方法时应尽可能多的产生样本路径数据，以保证定价的可靠性。但是大数据量产生同时也带来运算困难的问题，因此可以考虑采用分布式的云计算模型来实现。

通过上述论断可以看出，在价格路径较少的情况下，云计算平台的优势并未发挥，这是因为在分布式的运算中，用于节点间通信的消耗较大，此时单机运算效率更高；当价格路径及时间点数增加的时候，云计算平台的分布式计算能力优势明显，运算效率赶超单机模型；当数据量大到一定程度时，单机运算模型将无法负担运算的强度。

参考文献

[1]无建祖，宣慧玉.美式期权定价的最小二乘蒙特卡洛模拟方法[J].统计与决策，2006，1：155-157.

[2]Wang F Y，Yan A M，Yang L F.Combined application of cloud computation technology and Business Intelligence[C].ICECE，2011：2933-2936.

作者简介

刘源（1986-），男，河南省鹤壁市人。硕士研究生学历。现为鹤壁汽车工程职业学院助教。主要从事网络计算、物联网方向的研究。

张金燕（1987-），女，河南省鹤壁市人。硕士研究生学历。现为鹤壁汽车工程职业学院助教。主要从事应用数学、金融工程方向的研究。

作者单位

鶴壁汽车工程职业学院 河南省鹤壁市 458030