利用MATLAB生成Koch曲线

张笑笑

摘 要 分析Koch曲线的构造过程，然后编写生成Koch曲线生成元的M函数，通过该M函数的递归调用来生成Koch曲线。通过Koch曲线，便于更直观地理解分形，获得分形带来的艺术美感。

【关键词】分形 Koch曲线 递归

自然界存在许多复杂事物和现象，如蜿蜒曲折的海岸线、天空中奇形怪状的云朵、错综生长的灌木、太空中星罗棋布的星球等，还有许多社会现象，如人口的分布、物价的波动等，它们呈现异常复杂而毫无规则的形态，但它们具有自相似性。人们把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形（fractal），在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。Koch曲线由瑞典数学家科赫（Koch）于1904年提出，是典型的分形曲线。

MATLAB（MATrix LABoratory）是颇具特色和影响的科学计算软件，它以矩阵运算为基础，将高性能的数值计算和符号计算功能、强大的绘图功能、动态系统仿真功能以及为数众多的应用工具箱集成在一起，在科学研究以及工程设计领域有着十分广泛的应用。本文以Koch曲线为例，利用MATLAB作为实现工具，说明分形曲线的生成方法。

1 Koch曲线的构造过程

Koch曲线的构造过程是，取一条直线段L0，将其三等分，保留两端的线段，将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两边代替，得到曲线L1，如图1所示。再对L1中的4条线段都按上述方式修改，得到曲线L2，如此继续下去进行n次修改得到曲线Ln，当n→∞时得到一条连续曲线L，这条曲线L就称为Koch曲线。

Koch曲线将每条直线用一条折线替代，这条折线通常称为该Koch曲线的生成元。曲线的特征完全由生成元决定。给定不同的生成元，就可以生成各种不同的分形曲线。分形曲线的构造过程是通过反复用一个生成元来取代每一直线段，因而图形的每一部分都和它本身的形状相同，这就是自相似性，这是分形最为本质的特点。

对于给定的初始直线L0，需要在线段P1P5中插入三个点，其中P2，P4为线段P1P5的三等分点， P3可以由P4以P2为轴心逆时针旋转60°得到。

先考虑坐标数据的处理方法，即根据P1，P5两点的初始坐标，按照Koch曲线的构成原理计算出 P2，P3，P4各点坐标。显然：

P2=P1+（P5-P1）/3

P4=P1+2（ P5-P1）/3

为了得到P3点坐标，引入旋转矩阵。点A对应于长度为r的向量，A逆时针旋转△θrad得到B，如图2所示。

由此，定义旋转矩阵：

则

B=ART

P3点坐标可以由以下旋转矩阵来实现。

R用于对坐标进行60°的旋转，则P3点坐标可以由如下的公式得到：

2 Koch曲线的实现

分形曲线的构造过程也决定了生成该曲线可以用递归方法，即函数自己调用自己的过程。定义对直线L0进行替换的函数koch（），然后利用函数的递归调用，分别对P1P2、P2P3、P3P4、P4P5线段调用koch函数，通过递归来实现替换。程序不能像数学家的设想那样运算至无穷，所以要根据要显示的最小长度作为递归的终止条件。

首先编写M函数koch.m如下：

function y=koch（P1，P5，Level）

if Level<1

plot（[P1（1），P5（1）]，[P1（2），P5（2）]，'k'）； %绘制曲线

hold on；

else

R=[cos（pi/3），-sin（pi/3）；sin（pi/3），cos（pi/3）]； %旋转矩阵

P2=P1+（P5-P1）/3； %计算P2，P3，P4各点坐标

P4=P1+2*（P5-P1）/3；

P3=P1+（P5-P1）/3+（P5-P1）*R'/3；

koch（P1，P2，Level-1）； %函数递归调用

koch（P2，P3，Level-1）；

koch（P3，P4，Level-1）；

koch（P4，P5，Level-1）；

end

M函數编写完成后，编写以下程序。

koch（[0，0]，[1，0]，5）；

axis equal

axis（[0，1，-0.05，0.35]）

程序取Level=5，P1=[0，0]，P5=[1，0]，运行结果如图3所示。改变Level的值可以获得不同细腻程度的Koch曲线。

在程序中三次调用koch.m函数，实现三角形三条边各自的Koch曲线，形成Koch雪花曲线效果。编写以下程序，其运行结果如图4所示。

koch（[1，0]，[0，0]，5）；

koch（[0，0]，[cos（pi/3），sin（pi/3）]，5）；

koch（[cos（pi/3），sin（pi/3）]，[1，0]，5）；

axis equal

3 Koch曲线的变形

参照本文的方法，我们很容易自己构造其他生成元的Koch曲线，并利用MATLAB来实现。例如，修改Koch曲线生成的方法，将线段中凸起“三角形”改为凸起“正方形”，从而形成一种正方形雪花曲线，如图5所示。

4 结束语

分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注，不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。通过利用计算机和MATLAB来生成分形曲线的图像，使得我们可以更直观的感受和理解分形，以及分形带来的艺术之美。

参考文献

[1]百度百科.分形理论.http：//baike.baidu.com/view/86848.htm.

[2]刘卫国.MATLAB程序设计教程（第二版）[M].北京：中国水利水电出版社，2010.

[3]PRATAP R.Getting Started with MATLAB： A Quick Introduction for Scientists and Engineers.Oxford University Press， New York， 2009.

[4]百度文库.几个分形的matlab实现.http：//wenku.baidu.com/view/e34f87240722192e4536f659.html.

作者单位

湖南省长沙市第一中学 湖南省长沙市 410005