基于MATLAB的营养搭配方法

宋晓霞++李勇

摘 要 由于营养搭配问题与人们的健康状况紧密相关，因此它是一个极其重要的问题。目前的研究方法主要是定性研究，研究结论在实践中很难把握和执行。基于此，为了定量研究营养膳食搭配问题，从食品数量和种类上给出更易于操作的营养膳食搭配方案，本文根据不同人群对营养成分的不同需求、现有食物、食物所含营养成分及食物价格等条件建立数学模型，该模型可归结为最优化问题，利用仿真能力强的MATLAB进行优化求解并获得营养搭配方案。本文模拟实例说明了所提方法的有效性和可行性。本文不仅能从理论角度将营养搭配问题建模为最优化问题，而且通过MATLAB仿真获得有效而可行的营养搭配方案。

【关键词】计算机应用 优化问题 营养搭配 数学模型

随着生活质量的提高，人们越来越关注营养价值和膳食均衡问题，因为养生学认为它是与人们健康状况息息相关的重要问题。按照性别区分，有些研究者关注女性营养搭配，有些研究者关注男性营养搭配。按照年龄段分，有些学者关注婴幼儿营养搭配，有的学者关注青少年营养搭配，有的研究人员关注大学生营养搭配，有的研究人员关注成年人营养搭配，而老年专家更关注老年人的营养搭配。这些研究都是从医学、食品学的角度来宏观定性地进行研究，并且这些研究结论在实践中很难把握，难以准确执行。为了定量研究营养膳食搭配问题，从食品数量和种类上给出更易于操作的营养膳食搭配，本文首先对营养膳食搭配问题进行数学建模，然后采用仿真能力强的MATLAB软件进行求解，从而给出满足多种约束和需求的营养膳食搭配方案。

本文根据不同人群、不同需求、食物种类、食物所含的营养成分及食物价格等约束条件建立数学模型，该模型可归结为优化问题。本文针对建立的模型，利用仿真能力强的MATLAB进行求解。模拟实例针对成人正常营养搭配、减肥需求搭配和学龄前儿童搭配进行了仿真，结果说明了本文所提方法的有效性和可行性。该方法不仅对文中实例有效，而且只要用户给出食物，并且给出不同人群对食物营养的需求，所提方法就能获得可行的营养搭配方案。因此，该方法能从理论上将营养搭配问题建模为最优化问题，利用MATLAB进行仿真，从定量的角度获得可行、有效和易于执行的营养搭配方案。

1 营养搭配问题的数学建模

本节首先给出营养搭配问题中使用的数学符号，然后针对营养需求建立数学模型。建立的模型基于表1中的数据。更详细的数据可以进一步参考由中国营养学会提供的中国居民膳食营养素参考日摄入量和中国疾病预防控制中心营养与食品安全所编著出版的食物成分表。

1.1 数学符号

设有N种食物，用来表示，其中。N种食物的摄入量用来表示。N种食物共含M种营养成分。对于M种营养成分， 某人群每天需摄入总量用表示，其中，且bj表示某人群每天需要摄入的第j种营养成分。N种食物所含的M种营养成分用表示，其中Ai可表示为，且Aij表示第i种食物所含的第j种营养成分。

1.2 数学模型

针对表1 所给定的N种食物含有M种营养成分的数据，结合某人群每天对每种营养成分的摄入量需求，建立下面的数学模型。

为满足该人群对于第一种营养成分的需求，可用下面的（1）式表示。

（1）

同理为满足该人群对于第二种营养成分的需求，可用下面的（2）式表示。

（2）

依次类推，对于第j种营养成分的需求，可用下面的（3）式表示。

（3）

总之，该营养搭配问题需满足下面（4）式所描述的矩阵方程。

（4）

在具体应用时，如果要求费用尽可能低，则该营养搭配问题可建模为（5）式所描述的优化问题，假设第i种食物ni的价格为ci。

（5）

如果要求食物品种尽可能丰富，则该营养搭配问题可建模为（6）式所描述的优化问题。

（6）

在模型（6）中，目标函数用x的零范数来表示最大化食物的种类。当然我们还可以加入其它限制因素。最基本的营养搭配问题可建模为（7）式所描述的优化问题。

（7）

2 基于MATLAB的营养搭配方法

根据上一节建立的数学模型，图1给出基于MATLAB的营养搭配方法。

在图1中，第一步首先输入A和B，并确定其维数为M×N和M。第二步利用MATLAB优化技术求解模型所描述的优化问题，优化结束获得该问题的解。第三步将优化问题的解与每种食物的摄入量相对应。第四步利用MATLAB的绘图功能绘出该人群在现有食物种类条件下每种食物每天应摄入量的图形。

3 仿真实例

2.1 实例1

表2为由七种食物提供七种营养成分和成人每天对七种营养成分的摄入量要求，请给出营养搭配方案。

根据第1节所建立的模型，用图1所描述的基于MATLAB的营养搭配方法进行求解，所得结果如图2所示，七种食物摄入量分别为2.7774， 0.4753， 0.2281， 5.3116， 5.4477， 1.0723， 0.0061百克。

2.2 实例2

表3为由四种食物提供三种营养成分的有减肥需求摄入量要求的数据，请给出营养搭配方案。

根据第1节所建立的模型对表3中的数据进行建模，然后用图1所描述的基于MATLAB的营养搭配方法进行求解，所得结果如图3所示。

2.3 实例3

表4为由六种食物提供七种营养成分和成人每天对七种营养成分的摄入量，请给出营养搭配方案。

根据第1节所建立的模型对表4中的数据进行建模，然后用图1所描述的基于MATLAB的营养搭配方法进行求解，所得结果如图4所示。

2.4 实例4

表5为学龄前儿童从提供的五种食物摄入五种营養的数据和每种营养每天需要的摄入量，请给出满足儿童营养需求的食物搭配方案。

根据第1节所建立的模型对表5中的数据进行建模，然后用图1所描述的基于MATLAB的营养搭配方法进行求解，所得结果如图5所示，五种食物摄入量分别为0.7681，0.2433，8.1445，12.7771和1.5948百克， 即获得该种条件下学龄前儿童营养搭配方案。

3 结论

由于营养搭配问题与人们的健康状况紧密相关，因此它成为人们广泛关注的热点问题，并且取得了大量研究成果。然而，这些研究成果大多从定性的角度进行研究，实际中很难操作。我们从定量的角度出发，针对不同人群对营养成分的不同需求、现有食物以及食物所含营养成分等条件通过建立数学模型，利用MATLAB求解，并给出易于操作的营养搭配方案。本文不仅从理论角度将营养搭配问题建模为优化问题，还给出利用MATLAB仿真获得营养搭配问题的方法。

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作者简介

宋晓霞（1975-），女，博士学位。现为山西大同大学数学与计算机科学学院教授。主要研究方向为优化算法，无线传感器网络等。

作者单位

山西大同大学数学与计算机科學学院 山西省大同市 037009