纸钳子
——一种奇妙自锁现象的研究

宋家玮 陈 晨

(1. 南京师范大学教师教育学院,江苏 南京 210000; 2. 南京市金陵中学仙林分校中学部,江苏 南京 210000)

纸钳子
——一种奇妙自锁现象的研究

宋家玮1陈 晨2

(1. 南京师范大学教师教育学院,江苏 南京 210000; 2. 南京市金陵中学仙林分校中学部,江苏 南京 210000)

本文是关于2016年IYPT赛题中纸钳子的研究,探究了影响分开两本交叠在一起的书所需要的临界拉力的因素,从交叠深度、交叠页数、纸的摩擦因数、厚度等主要影响因素进行定量分析．通过实验进行理论验证,最后得出结论即拉力越大,纸间的摩擦力越大,越难拉开．同时也发现纸钳子是一种自锁现象,通过对其研究也加深了我们对自锁现象的理解,对高中物理教学也有一定的启示和借鉴．

纸钳子；自锁现象；摩擦力

1 引 言

国际青年物理学家锦标赛(IYPT)以其别具一格的比赛形式和独具特色的赛题而闻名世界,并且越来越受到中学物理教育的关注,对其赛题的理论和实验研究可以帮助学生加深对相关物理知识的理解,同时赛题本身也可以作为高中物理实验的重要补充,便于中学物理教师的资源开发．

本文探讨的是2016年IYPT赛题“纸钳子”,从理论和实验两个角度对其进行研究,通过研究进一步理解摩擦力的形成原因,并知道这也是一种自锁现象．同时,在实验的探索过程中,也提高了学生的实验能力．

图1 预实验图

2 现象介绍

纸钳子的实验现象比较明显,将两本纸质相同的书一次性交织一页或若干页,再将两本书推在一起．用力拉住两本书的书脊并尝试将它们分开,两本书会越拉越紧,需要很大的力才能将两本书分开,如图1．

2 理论探讨

2.1 定性解释

我们先对这个现象做一个较为定性的解释,当两本书交叠在一起后,由于厚度的变化,书产生的形变使得书页在法向方向有合拢的趋势,产生了摩擦力,由于摩擦力的作用使得两书难以分开．拉力越大,法向的力也越大,使得两书越难拉开．

图2 模型示意图

2.2 模型建立

首先进行受力分析,为了排除重力的影响,这里先考虑竖直方向放置的情况,书本受拉力和摩擦力,两书交叠产生的倾角使得书有自动合拢的趋势,在水平方向有一个正压力,导致了摩擦力．在不考虑书页弯曲的情况下,模型示意图简化为如图2.

我们不妨假设纸与纸之间紧密接触．临界拉力产生在静摩擦转变为滑动摩擦的时候,我们取临界时的摩擦因数为滑动摩擦因数．这里我们研究一种最为简单的情况,单页交叠．每本书有2M张纸,ε表示每张纸的厚度,μ表示纸之间的滑动摩擦因数,d表示书脊到交叠部分的距离,L-d表示交叠部分的长度,Tn表示第n张纸受到的拉力．(中间为第一张纸,向左右两边编号依次增大)

由几何知识得第n张纸与竖平面的夹角为

(1)

根据受力平衡,纸的法向受到的力为

Nn=Tntanθn.

(2)

每一面纸受到的最大静摩擦力为

fmax=μNn.

(3)

由此得到递推

Tn-Tn+1=4μNn.

(4)

(5)

2.3 模型拓展研究

2.3.1 多页交叠

(6)

2.3.2 模型的修正

在T的表达式中我们并没有看到摩擦力与书本面积的关系,但是实际实验中我们发现改变书本的面积(仅仅改变书的宽度,L不变),临界拉力也随着变化．在摩擦力作用面积很大的情况下,最大静摩擦力需要加一个和面积有关的修正项,即Fs=μsN+CsA.

2.4 模型的分析

根据受力平衡，有

N=Ttanθ.

(7)

产生自锁现象的条件为

T<μN.

(8)

μMε

(9)

在M、μ、ε、D都不变的情况下,L变大,T减小. 即当书脊到交叠部分的水平距离占据书长的比例相同时,书越长,拉力越小．同样,定义每页纸占总厚度的比例为无量纲量时,可得在总厚度相同的情况下,M越大,拉力越小．

3 实验探究

3.1 实验器材

A4纸和拉力传感器，为了方便使用力传感器,我们制作了若干宽度为20mm、长为297mm,页数不等的实验书,如图3、图4所示．(事先测得纸的厚度为0.1mm,滑动摩擦因数μ=0.3)，

图3 实验书

图4 拉力传感器

3.2 实验过程

将实验书的两端固定在力传感器上,由于分开两本书的临界拉力是书所受摩擦力从最大静摩擦突变为滑动摩擦的瞬间,所以力传感器上的示数有一个突变点,如图5所示,我们取突变点的示

图5 拉力传感器图像显示

数为临界拉力的值．另外由于在拉力很小的时候,纸会在自身重力作用下散开,故我们在法向施加了一定的力,即给T*赋值．

实验1:竖直情况下临界拉力与纸张页数的关系.

实验参数:L=16cm,d=1cm,μ=0.3,ε=0.1mm，实验数据见表1.

表1 竖直情况下临界拉力与纸张页数的关系

实验2:竖直情况下临界拉力与书脊到交叠部分的距离d的关系.

实验参数:2M=50,L=16cm,μ=0.3,ε=0.1mm，实验数据见表2.

表2 竖直情况下临界拉力与

实验3:竖直情况下临界拉力与交叠页数的关系(s为一次交叠的页数)

实验参数:2M=72,L=16cm,μ=0.3,ε=0.1mm，实验数据见表3.

表3 竖直情况下临界拉力与交叠页数的关系

在水平放置的情况下,则需要修改递推公式,由于我们取中间一页为n,则上下的递推公式形式不同，修改为

(10)

可同样用上述方法求解,只是上下两部分的T*不同,最下面一张纸所受T*主要是由重力造成的．

3.3 实验分析

由于力太小,在竖直放置情况下纸会散开,故每一组都在法向施加了一定的力．

(1) 竖直情况下临界拉力与纸张页数的理论值与实验值对比(T*=0.1N)，实线为理论值，圆点为实验值.

图6 临界拉力与纸张页数的理论值与实验值对比

(2) 竖直情况下临界拉力与书脊到交叠部分的距离d的理论值与实验值对比(T*=2.5N).

图7 临界拉力与书脊到交叠部分的距离d的

(3) 竖直情况下临界拉力与纸张页数的理论值与实验值对比,实线为理论值,圆点为实验值．(T*=5.8N．在力过大时,由于纸张打滑所以有偏差)

图8 临界拉力与纸张页数的理论值与实验值对比

3.4 实验结论

(1) 临界拉力随纸张的增加而增大．

(2) 临界拉力随书脊到交叠部分的水平距离的减小而增大,且变化趋势先快后慢．

(3) 临界拉力随一次性交叠页数的增加而减小．

4 结论和启示

本实验实验过程简单易行,两本看似不起眼的书,却可以承受我们难以想象的巨大的力．这一实验可作为高中力学实验的重要补充,加深学生对摩擦力、对自锁现象的理解;另一方面,也可以丰富教学内容,激起学生探索物理的兴趣,培养他们的探究能力．

1 潘志民，杨景，廖星觉.关于拉开两本交叉重叠的书所需力的研究[J].物理教师,2015(2):63-65.

2 薄宏超.挖掘高考热点，解密自锁现象[J].湖南中学物理,2013(3):65-66.

3 H. Alarcon, T. Salez, C. Poulard, J.-F. Bloch, E. Raphael, K. Dalnoki-Veress, F. Restagno. The enigma of the two interleaved phonebooks[J]. 2015,arXiv:1508.03290

4 D. Van Domelen. Showing Area Matters: A Work of Friction. Phys[J]. Teach，2010，48(1)：28-29.

2016-12-21)