一个过程怎会出现两种结果?
——对一道热学奥赛培训例题解答之质疑与分析

李卫平 王 捷 李小杰 徐钟鸿

(西华师范大学物理与空间科学学院,四川 南充 637009)

·竞赛园地·

一个过程怎会出现两种结果?
——对一道热学奥赛培训例题解答之质疑与分析

李卫平 王 捷 李小杰 徐钟鸿

(西华师范大学物理与空间科学学院,四川 南充 637009)

1 原题及原解答

如图1(a)所示,有一竖直放置的左端封闭、右端足够长且开口向上的U形均匀玻璃管,管中以水银柱封闭一段长为l0=15cm的空气柱,两边管中水银的长度分别是h1=22.5cm,h2=27.5cm,管弯曲部分的长度可忽略不计,大气压p0=75cmHg. 今将管缓慢倒转使其仍呈竖直但开口向下,管内气压达到新的平衡,如图1(b)所示.

图1

(1) 试求平衡状态下空气柱的长度;

(2) 试讨论新平衡的稳定性.如为不稳定,则需进一步分析该状态被扰动破坏后的情况.

解析: (1) 试管的截面积为S,倒转后封闭在管中仍有水银,当空气柱的长度增加了x,则对封闭管内气体根据玻意耳定律有

p1l0S=p2(l0+x)S,

即

[p0+(h1-h2)]l0=[p0-(h2+x)+(h1-x)](l0+x).

代入相应的数据,化简得

80×15=(70-2x)(15+x),

解得

x1=5cm,x2=15cm.

x的两个值都小于h1,说明倒转后封闭管中确实仍有水银,即假设成立.但两个解都不能舍去,表明倒转后建立的新平衡态有两种可能,对应的空气柱长度分别为

l1=l0+x1=20cm,

l2=l0+x2=30cm.

(2) 先讨论气柱长度l1=20cm这一平衡态的平衡种类,此时封闭端气体A的压强pA=(75-32.5+17.5)cmHg=60cmHg.现假想左端水银液面上升或下降一小量Δx(向上为正),则由玻意耳定律得A管中气柱的压强变为

在U形玻璃管弯管部分的顶端正中间取一薄层水银来分析,它所受的左、右两边的压强差

这表明这一薄片水银所受的合力向左,因此这一状态对应的平衡态为稳定平衡态.

若平衡时封闭的气柱长l2=30cm,同上类似的方法可得

故这一状态对应的平衡态为不稳定状态.因此在受到微小扰动后,水银将全部进入右管中.(注： 应该是水银受到从管的封闭端流向开口管的微扰动后，才会出现全部进入开口管中的情况，原解答未考虑，如果水银受到的是从开口管流向封闭端的微扰动，则水银将随之而进一步流入封闭端中，使管封闭端中的气柱长度缩短，最终将以空气柱长度l1=20cm的状态为稳定平衡态.)

设这时气柱长为x3,则由玻意耳定律得

(p0+h2-h1)l0S=(p0-h1-h2)x3S.

即

用上面类似的方法还可证明这一平衡态为一稳定平衡态.

2 对原解答之质疑及分析

在原解答中,借助数学方程得到了管的封闭端中有l1=20cm，l2=30cm两个空气柱的长度,经简单验算这两个结果都不能舍去,所以便认定在U形管缓慢倒转后这两种平衡态都是可能出现的.正是基于这样的判断,原解答又继而对两种平衡状态的稳定性进行了深入的讨论,在确定了对应l2=30cm的空气柱长度的平衡状态属不稳定平衡后,又进一步分析了系统受到微扰动后的相应去向,从而最终对本题做出了看似十分完备的解答.然而,在这看似完备的解答中却存在一个问题:为什么从同一初态出发,经过同一过程竟有两种不同的结果均可能出现?这一点无论从哲学的因果制约关系角度看,或者从宏观物理学的决定论角度看,都是令人费解的.尽管通过理论计算和理论判断得到两种可能产生的系统平衡状态,然而,如果进行实际的缓慢倒转U形管的操作的话,客观上真正出现的必然只能是这两种可能结果中的一种.这又令人进一步深思,究竟会出现哪种结果呢?抑或,原题的解答并不完善,其实根本就不存在两种可能的结果而只有一种结果?

U形管的缓慢倒转过程中如图2所示. 我们对此过程分有、无扰动存在两种情况进行分析.

(1) 如果没有扰动的话,管中空气柱的长度将缓慢连续地逐渐增大, 当空气柱增大至l1=20cm时U形管正好处于竖直状态. 显然管内空气柱将保持这一平衡状态不变, 空气柱长度为l2的另一系统平衡状态是不可能出现的.

(2) 没有扰动的情况仅仅在理论上存在,实际上自然界的微扰动是随时存在的. 然而,在随着U形管的缓慢倒转管内空气柱的长度缓慢地从l0=15cm增大至l1=20cm的过程中, 系统的任何一个平衡状态显然均是稳定平衡的, 所以在此过程中即使存在微扰动, 并不至于使系统状态失稳而发生突变,管中空气柱的长度连续地从l0=15cm增大至l1=20cm.而空气柱长度为l1的系统平衡状态正如原解答所指出的也是稳定平衡态,系统在达这一稳定平衡态后管中空气柱的长度便不再发生变化,也不可能因微扰动而发生突变. 虽然空气柱长度为l2=30cm的另一系统平衡状态是数学上可能的平衡态,但即使存在微扰动的情况下在物理上并不会实际出现.

图2 U形管倒转过程

综上分析可知,原题最后的正确结果应是:将U形管缓慢倒转使其仍呈竖直但开口向下时,平衡状态下空气柱只能有l1一个长度.

3 结束语

借助数学方程,指出U形管竖直倒置时系统(在管的封闭端中存在水银的情况下)将有两种平衡状态.但如果单凭数学而不对U形管的缓慢倒转过程进行物理分析,我们就不可能剔除掉实际上并不出现的一种系统平衡状态,并最终确定实际真正出现的平衡状态.在本题的解答中,数学工具与物理思考就是这样紧密结合但又彼此不能取代.

1 范晓辉.新编高中物理奥赛指导[M].南京:南京师范大学出版社,2012(6)：257-258.

2016-11-21)