基于MATLAB对“Y型”果树振动共振频率的研究

魏庭鹏++王春耀++闵磊++吕梦璐

摘要：为了研究果树振动时树干、树枝的加速度动态响应，获得最优共振频率的阶数、数值、区间，得出果树振动的最优激振参数，为林果振动采摘收获机的参数优化提供理论基础，将树干-树枝力学模型简化为双自由度的质量-刚度-阻尼力学模型，建立振动方程，对方程进行仿真、运算，并结合试验所得结果进行对比分析。结果显示，仿真与试验中，整个果树共出现了6阶共振频率，其中1阶、2阶、3阶最为明显，分别约为1.72、4.18、7.72 Hz；同时，整个果树的共振频率始终都是在0～12、17～25 Hz这2个区间内。表明果树振动落果过程中，0～12、17～25 Hz这2个频率区间可作为整个果树振动落果的参考频率区间。其中，1.72、4.18、7.72 Hz可作为整个果树振动落果的首选参考频率；激振载荷数值增加，果树共振频率的阶数、区间、数值并不会随之改变，但树干、树枝的加速度响应幅值是逐渐增加的。

关键词：果树；动态响应；共振频率；激振参数；采摘收获机

中图分类号： S225. 93文献标志码： A

文章编号：1002-1302（2017）03-0169-03

收稿日期：2015-09-06

基金项目：国家自然科学基金（编号：51465054）。

作者简介：魏庭鹏（1990—），男，江苏仪征人，硕士研究生，主要从事机械系统动力学研究。E-mail：weitingpeng100@126.com。

通信作者：王春耀，教授，硕士生导师，主要从事力学研究。E-mail：wangchun_yao@126.com。

林果产业作为新疆的特色性产业，创造了可观的经济效益，然而由于种植面积广、采收周期短、劳动力紧缺等問题，常常使得林果采摘不及时，从而降低了产量，影响了果农的收入[1-2]；与传统的人工采摘方式相比，机械振动采摘方式具有效率高、成本低的显著优势。近年来，针对林果机械振动采摘的研究，国内外的众多学者取得了一定的成果，如Torregrosa等研发了一种振摇树干式杏子收获机，并对其进行了试验研究，结果表明当激振频率为15 Hz时，收获效率最高，达72%[3]。在国内，陈度等分别采用正弦式和冲击式2种激振方式，对樱桃进行了振动采收试验，通过对比结果得出，树枝在冲击式激振下的动态响应要大于在正弦式激振下的动态响应[4]。王业成等通过振动采收试验分析了激振频率、振幅、激振位置对黑加仑葡萄落果率的影响，结果表明影响落果率的因素从大到小的顺序依次为频率、振幅、激振位置[5]。

针对果树力学模型的建立，Láng做了一系列的研究，最终得出一些重要结论。他指出，首先果树在振动时，树干的运动与各分枝的运动是相互独立的，即树干在分叉处的上下部分具有良好的线性关系；其次，在只考虑果树的结构阻尼，忽略黏性阻尼的前提下，将树干-树枝力学模型简化为双自由度的质量-刚度-阻尼力学模型时，较为准确[6-8]。然而，针对建立的模型，Láng并未对其进行进一步的探究，在其建立的力学模型基础上，本试验进一步研究振动时树干、树枝的加速度动态响应，获得最优共振频率的阶数、数值、区间，并且通过试验验证，最终得出果树振动的最优激振参数，为林果振动采摘收获机的参数优化提供参考。

1树干-树枝的建模与仿真

1.1建立树干-树枝模型

选取生物形态较规则、分枝与树干尽量在同一平面内的“Y型”海棠果树树枝作为研究对象，针对Láng提出的力学模型，如图1所示，[JP2]忽略树干、树枝末端少量的嫩枝、嫩叶的重力，将树干、树枝各自等效为1个集中质量块，之间视为以弹簧件、阻尼器弹性连接。因此，在振动过程中，树枝L2对树干L1[JP2]的作用，可以看作质量块m2在弹簧件k2和阻尼器c2作用下的谐振系统对质量块m1的作用，取点1、2、3、4、5、6作为试验的监测点，其中，在距离固定端部0.5 m处取点1，分别依次施加5、7、9 g的激振载荷，谐振系统相关的物理参数如表1所示。

1.2仿真运算

依据建立的双自由度力学模型，物体离开平衡位置的位移用x1、x2表示，2个质量块在水平方向的受力如图1中所示，依据力的平衡条件并加以整理得公式（1）：

[JZ（][JB（{]m1[KG-*5]x[DD（-1*2][HT6]¨[DD）]1+（c1+c2）[KG-*5]x[DD（-1*2][HT6][DD）]1-c2[KG-*5]x[DD（-1*2][HT6][DD）]2+（k1+k2）x1-k2x2=Fm2[KG-*5]x[DD（-1*2][HT6]¨[DD）]2-c2[KG-*5]x[DD（-1*2][HT6][DD）]1+c2[KG-*5]x[DD（-1*2][HT6][DD）]2-k2x1+k2x2=0[JB）]。[JZ）][JY]（1）

将公式（1）写成矩阵形式见公式（2）：

[HT9.，8.][JP3][JB（（]m100m2[JB））][JB（（][KG-*5]x[DD（-1*2][HT6]¨[DD）]1[KG-*5]x[DD（-1*2][HT6]¨[DD）]2[JB））]+[JB（（]c1+c2-c2-c2c2[JB））][JB（（][KG-*5]x[DD（-1*2][HT6][DD）]1[KG-*5]x[DD（-1*2][HT6][DD）]2[JB））]+[JB（（]k1+k2-k2-k2k2[JB））][JB（（]x1x2[JB））]=[JB（（]F0[JB））][JP]。[JY]（2）

最终可得双自由度系统的运动微分方程[9-11]，见公式（3）：

[JZ（][KG-*5][WTHX][STHX]M[DD（-*2][HT6]→[DD）][KG*5]x[DD（-1*2][HT6]¨[DD）]+[KG-*5][WTHX][STHX]C[DD（-*2][HT6]→[DD）][KG-*5]x[DD（-1*2][HT6][DD）]+[KG-*5][WTHX][STHX]K[DD（-*2][HT6]→[DD）]x=[KG-*5][WTHX][STHX]f[DD（-*2][HT6]→[DD）][JZ）][JY]（3）

这是一个二阶常系数线性非其次微分方程组，式中：

[JZ][WTHX][STHX]M[DD（-*2][HT6]→[DD）]=[JB（（]m100m2[JB））]，[KG-*5][WTHX][STHX]C[DD（-*2][HT6]→[DD）]=[JB（（]c1+c2-c2-c2c2[JB））]

[JZ（][KG-*5][WTHX][STHX]K[DD（-*2][HT6]→[DD）]=[JB（（]k1+k2-k2-k2k2[JB））]，[KG-*5]f[DD（-*2][HT6]→[DD）]=[JB（（]F0[JB））]。[JZ）][JY]（4）

分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵、剛度矩阵和外部载荷矩阵。

如图2-a所示，用MATLAB中Simulink子系统封装技术[12]对上述建立的运动微分方程进行仿真运算并输出，最后得出系统分别在5、7、9 g激振载荷作用下树干、树枝的加速度响应如图2-b至图2-d所示。

首先，图2-b表示的是系统在5 g的激振载荷下，树干、树枝的加速度响应，可以看出，树干部分共出现了6阶共振频率，其中2阶、3阶、4阶最为明显，依次分别为4.18、7.71、18.87 Hz，树枝部分共出现了7阶共振频率，其中1阶、2阶、3阶最为明显，依次分别为1.13、1.74、4.18 Hz。

其次，通过对比图2-b、图2-c、图2-d发现，在不同的激振载荷下，树干、树枝的加速度响应图非常相似。共振频率在不同的激振载荷下，树干、树枝的各阶共振频率始终都是在0～10、17～25 Hz这2个频率区间内，且在各区间内，树干、树枝各阶共振频率也几乎一一对应。

但是，加速度响应却有所不同，如在5、7、9 g激振载荷作用下，树干部分的3阶共振频率约为7.72 Hz时，所对应的加速度响应分别约为0.35、0.50、0.60 g；树枝部分的2阶共振频率约为1.74 Hz时，所对应的加速度响应分别约为0.55、080、1.00 g，即随着激振载荷数值的增加，树干、树枝各自的加速度响应幅值是逐渐增加的。[FL）]

[FK（W+112mm][TPWTP2.tif][FK）]

2材料与方法

2.1试验仪器

激振器：采用苏州苏试试验仪器股份有限公司生产的电动振动试验台，振动试验台型号为DC-600-6，支持最大负载200 kg，额定位移 51 mm。信号采集：采用东华测试生产的采集仪及其配套的软件，采集仪型号为DH5922N，可同时进行16通道同步高速长时间连续采样，每个通道最高采样频率为256 kHz，本次试验采样频率为500 Hz。

2.2试验过程

提取1、2、3、4、5、6这6个监测点作为试验的监测点，将加速度传感器按编号1～6分别安置在6个监测点处，在点1处，分别依次施加5、7、9 g的激振载荷，应用采集仪同时对6个监测点进行监控并拾取响应。

2.3试验结果

图3-a、图3-b、图3-c分别表示的是系统在5、7、9 g激振载荷作用下的树干、树枝上各监测点的加速度响应图。

通过对比图3-a、图3-b、图3-c发现，在不同的激振载荷作用下，树干、树枝上各监测点的加速度响应图也非常相似，这与前面仿真运算的结果可能存在一定的共性，因此，将仿真与试验中的各阶共振频率一并列在表2中，将仿真与试验所得的结果进行对比分析。

首先，从图3-a、图3-b、图3-c中可以看出，试验中整个果树约共出现了6阶共振频率，其中2阶、3阶最为明显，分别约为3.94、7.72 Hz。这与仿真中，树干、树枝部分分别共出现了6阶、7阶共振频率，树干中2阶、3阶、4阶最为明显，依次分别为4.18、7.71、18.87 Hz，树枝中1阶、2阶、3阶最为明显，依次分别为1.13、1.74、4.18 Hz所得的结果，无论是共振频率的阶数，还是共振频率的数值都较吻合。共振频率对应的加速度响应越强烈，越有利于振动过程中果实的脱落，因此，上述的几个共振频率，可以作为整个果树振动落果的首选参考频率。

由表2可知，共振频率在不同的激振载荷下，树干、树枝上各监测点的各阶共振频率始终都是在0～12、18～23 Hz这2个频率区间，且在各区间内，各阶共振频率也几乎一一对应。这与仿真中，树干、树枝的各阶共振频率始终都是在0～10、17～25 Hz这2个频率区间内，且在各区间内，树干、树枝各阶共振频率也几乎一一对应所得的结果，无论是频率区间，还是共振频率的对应关系都较吻合。说明激振载荷数值的增加，并不会改变果树共振频率的阶数、区间、数值，同时0～12、17～25 Hz这2个频率区间，可以作为整个果树振动落果的参考频率区间。

试验中整个果树在5、7、9 g的激振载荷作用下，树干上监测点4的3阶共振频率约为7.68 Hz时所对应的加速度响应分别约为0.55、0.70、0.95 g，树枝上监测点5的2阶共振频[CM（25]率约为3.94[KG*3]Hz时所对应的加速度响应分别约为0.60、080、1.00 g。这与仿真中，随着激振载荷数值的增加，树干、树枝各自的加速度响应幅值是逐渐增加的相吻合。当果树振动时的惯性力大于果实-果柄的结合力时，果实脱落，而惯性力主要取决于枝干上的加速度响应，因此，振动落果作业中，应综合考虑树干、各树枝上果实的生长情况，选择最适宜的激振载荷，以达到最大采摘效率。

仿真和试验所得的结果中，诸如共振频率的阶数、数值、区间以及共振频率所对应的加速度响应幅值，都存在微小的差异，这主要由于建立的模型不是很精确，比如忽略树干、树枝末端少量的嫩枝、嫩叶的重力，忽略空气阻尼在仿真中的影

[FL）]

[KH*4D]

响，以及果树分叉节点、枝干各处的材料形状不一、物理特性不均匀等，都造成了理论模型的不精确性，从而造成了仿真与实际试验的诸多差异。

3结论

[JP2]果树振动落果过程中，0～12、17～25 Hz这2个频率区间，可以作为整个果树振动落果的参考频率区间。其中，1.72、418、7.72 Hz可以作为整个果树振动落果的首选参考频率。

激振载荷数值的增加，果树共振频率的阶数、区间、数值并不会随之改变，但树干、树枝的加速度响应幅值是逐渐增加的。[JP]

樹干、树枝末端少量的嫩枝、嫩叶的重力、空气阻尼以及枝干材料物理特性不均匀等因素，对理论模型精度均有一定的影响，不容忽略。

参考文献：

[1]Sarig Y. Mechanized fruit harvesting：Site specific solutions. Information and technology for sustainable fruit and vegetable production FRUTIC 05[C]. Montpellier，France，2005：237-247.

[2]王长勤，许林云，周宏平. 偏心式林果振动采收机的研制与试验[J]. 农业工程学报，2012，28（16）：10-16.

[3]Torregrosa A，Martin B，Ortiz C，et al. Mechanical harvesting of processed apricots[J]. Applied Engineering in Agriculture，2006，22（4）：499-506.[HJ1.7mm]

[4]陈度，杜小强，王书茂. 振动式果品收获技术机理分析及研究进展[J]. 农业工程学报，2011，27（8）：195-200.

[5]王业成，陈海涛，林青. 黑加仑采收装置参数的优化[J]. 农业工程学报，2009，25（3）：79-83.

[6]Láng Z. A fruit tree stability model for static and dynamic loading[J]. Biosystems Engineering，2003，85 （4）：461-466.

[7]Láng Z. A simple model for fruit tree shaking harvest[J]. [JP2]International Journal of Horticultural Science，2007，13（1）：33-36.[JP]

[8]Láng Z. A one degree of freedom damped fruit tree model[J]. Transactions of the ASABE，2008，51（3）：823-829.

[9]李惠斌. 振动理论与工程应用[M]. 北京：北京理工大学出版社，2006：28-45.

[10]殷祥超. 振动理论与测试技术[M]. 徐州：中国矿业大学出版社，2007：30-43.

[11]李德葆. 工程振动试验分析[M]. 北京：清华大学出版社，2004：23-39.

[12]黎明安. MATLAB/Simulink动力学系统建模与仿真[M]. 北京：国防工业出版社，2012：27-36.