论极限对学生数学思维能力的影响

马静亚

摘 要：本文通过对极限概念的剖析，列举相关案例，阐明极限学习如何使学生的数学思维能力（思维的深刻性、严谨性、辩证性）得以提升。

关键词：极限；数学思维能力；辩证思想

【中图分类号】G 【文献标识码】B

【文章编号】1008-1216（2017）04B-0092-02

数学学习最重要的是培养学生的思维能力，在学习的过程中帮助学生学会思考、学会学习、学会求知。良好的数学思维能力是个人适应现代生活和未来发展的重要能力基础。本文通过几个案例来透视极限对学生数学思维的影响。

一、通过极限的学习提高思维的深刻性

中学学习的数列极限主要为定性描述，如：“an与a的距离无限接近”“|an-a|的值无限小”，更有“an与a的距离比你所能想到的还要小”等。数学分析在对极限部分的处理上，引入了定量化的极限概念，这与中学学习极限概念彻底划清了界限。

将极限概念用简化的逻辑符号来表示： an=aε>0，N>0，当n>N时，恒有|an-a|<ε。此定义是由一堆抽象的字母与数学符号构成，同时又包含“任意给定”“存在”“对所有”这些量词，逻辑结构复杂难以理解，很容易对它把握不准。因此在整个学习过程中，要注意“由主到次”“由粗到精”地层层剖析，捋顺其中的关系，深入地思考与分析很有必要：

（一）对于任给的ε，首先它可以是实数域内任意取的正数，但ε一旦确定，又是实数域里的一个定值。因此，它一方面是任意的，以保证an与a的接近程度；另一方面，它又是固定的，以保证检验步骤的进行。通过分析ε的任意性和确定性，来准确地从“量”上把握数列极限。

（二）一般由|an-a|<ε推出N，随着ε的变小，N越来越大。虽然N与ε有关，但并非由ε唯一决定，关键是N的存在性。

（三）对于不等式|an-a|<ε-εN的点an都落在a的ε鄰域里，而在此邻域外的点，至多在数列{an}前有N个有限点。 在这样层层分析极限概念的学习中可以不断提高学生思维的深刻性。

课堂学习中有这样一道题目：0.9是否可以等于1？大多数同学是这样回答的：0.9不会等于1，并且0.9永远小于1。因为作……