拟蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用研究

杨首樟　任燕燕

摘要：不断变化的市场利率、汇率，难以预测的突发事件，以及各种复杂情形都对金融衍生产品定价方法提出了更高的要求。蒙特卡洛模拟是一种比较有效的衍生品定价方法，它通过伪随机序列模拟标的资产价格的路径，对相应的期权进行定价，但它存在着一定的弊端：收敛速度慢，不能通过增加模拟次数有效地逼近真值。拟蒙特卡洛模拟对蒙特卡洛模拟进行了改进，用低差异序列代替伪随机序列，提高了模拟的准确性。论文利用蒙特卡洛和拟蒙特卡洛模拟方法 对欧式期权进行定价，对两种方法进行比较分析，结果表明在低维情况下拟蒙特卡洛模拟方法可以得到更加精确地效果，收敛速度也比较快；在高维情况下通过修正也达到同样的效果。

关键词： 蒙特卡洛；拟蒙特卡洛； 欧式期权；Black-Scholes定价模型

中图分类号：F830.91；F224 文献编码：A DOI：10.3969/j.issn.1003-8256.2017.01.007

0 引言

在过去的二十年中，期权作为管理风险和投机的工具得到了迅速的发展，同时也引发了对于期权定价的研究。由于期权的价格受市场供求的影响，进而影响交易双方的收益，使得期權定价研究成为期权交易中的一个重要部分。但由于市场的复杂性以及不可预见性，使得期权的定价非常复杂，当所求问题的维度不高于三维的时候，运用传统的数值方法，例如，二叉树方法、有限差分法等就可以得到比较理想的结果，但当问题的维度比较高的时候，这些传统数值方法表现就不太理想，这就是所谓的“维度灾难”。为了解决更加复杂的问题，诸多学者提出了蒙特卡洛方法。蒙特卡洛方法的基本思想是通过建立一个统计模型或者随机过程，使它的参数等同于所求问题的解，再通过反复的随机取样，计算参数的估计值和统计量，从而得到所求问题的近似解，当抽样次数越多的时候近似解就越接近于真实值，其基本原理就是大数定理和中心极限定理。

然而任何方法都不可避免地存在误差，蒙特卡洛方法也不例外，为了得到更加精确地结果，往往需要误差减小方法来降低误差，对于蒙特卡洛方法来说，其收敛速度是O（N^[-1/2]）（其中，N 是模拟次数），显然只通过增加模拟次数来降低模拟误差的方法不是有效的。因此学者提出利用低差异序列来代替蒙特卡洛模拟方法所采用的伪随机数列，使得收敛速度变为O（N^[-1]），这种方法就是拟蒙特卡洛模拟方法，该方法采用低差异序列进行数值积分以解决其他问题。

Boyle（1997）首次使用蒙特卡洛模拟方法对单一资产的欧式期权进行定价，并指出方差减小技术可提高蒙特卡洛方法的精度，在大多数情况下使用拟蒙特卡洛模拟亦可以改进蒙特卡洛方法。Paskov和Traub（1995）利用蒙特卡洛模拟及采用低差异序列的拟蒙特卡洛模拟计算高维积分，并将两者的结果进行比较，验证了拟蒙特卡洛模拟方法比蒙特卡洛模拟方法具有许多优势。Joy.Boyle和Tan（1996）的实验结果也证明了拟蒙特卡洛模拟的效率更高，模拟结果更加精确，误差收敛速度也更快。

国内对于欧式期权定价的蒙特卡洛方法研究起步较晚。马俊海、张维（2000）用蒙特卡洛模拟方法对衍生证券及套期保值参数进行直接模拟，李亚妮（2007）详细阐述了方差减小技术对期权定价的蒙特卡洛方法的改进，向文彬、向开理（2008）提出了利用低差异序列（Halton序列）的拟蒙特卡洛模拟，并以欧式期权定价为例，比较了拟蒙特卡洛方法与蒙特卡洛方法的结果，得出拟蒙特卡洛方法更具优势的结论。

1 期权定价方法

1.1 欧式期权

欧式期权是指买入期权的一方必须在期权到期日当天才能行权的期权，根据权利的不同，欧式期权可分为欧式看涨期权和欧式看跌期权。欧式看涨期权是指期权的持有方具有在到期日以提前约好的执行价格买入标的资产权利的交易。欧式看跌期权是指期权的持有方具有在到期日以提前约好的执行价格卖出标的资产权利的交易。期权给予其持有人的是权利而非义务，也就是说，期权持有人可拒绝行权。因此，期权的价格一定大于或者等于零。

假设， 欧式看涨期权的价格为V， 那么V一定服从以下条件：

V随着执行价格K的增加而减少。

V取决于到期日T。

V随着标的资产价格S的增加而增加。

V取决于无风险利率r。

对于欧式期权的价值，可以通过运用数理金融方法得到。

1.2 期权定价模型

由于股票现价与它未来的预期价格有关，并且现价、到期日、无风险利率和执行价格等这些变量都可以影响期权定价，因此，二十世纪七十年代，Black 和 Scholes发表了题为《THE PRICING OF OPTIONS AND CORPORATE LIABILITIES》的文章，文中提到的期权定价模型很好的解决了期权定价的问题，但Black-Scholes期权定价模型需要一定的假设条件：

股票价格是波动的并服从对数正态分布，也就是说，标的资产收益是正态分布的。

在期权的存活期，无风险利率，期望收益和股票价格波动是常数。

市场是完全流动市场并且不存在交易费和印花税。

在期权存活期，标的股票是不分红的。

期权是欧式期权，不能再到期日之前提前行权。

市场中不存在无风险套利机会。

在这个模型中，期权的价格并不依赖于投资者对于资产的预期收益率。可以说Black-Scholes期权定价模型提供了一种在除波动率以外其他变量都能被观察到的情况下精确估计期权价格和控制风险的方法。

1.3 欧式期权定价的蒙特卡洛模拟方法

2 研究方法

2.1 蒙特卡洛模拟方法

蒙特卡洛模拟方法的基本思想是通过建立一个统计模型或者随机过程，使它的参数等同于所求问题的解，再通过反复的随机取样，计算参数的估计值和统计量，从而得到所求问题的近似解，当抽样次数越多的时候近似解就越接近于真实值。其基本原理就是大数定理和中心极限定理。

但是蒙特卡洛模拟的计算量非常大，计算速度也很慢。蒙特卡洛随机取样所采用的随机数服从伪随机序列，而伪随机序列存在聚类特点，且样本的分布不服从真实分布，这使得计算结果会出现偏差。其误差可以通过中心极限定理得到：

从误差式中可以看出蒙特卡洛模拟的误差与方差和样本数量n有关。为了降低其误差，需要选择合适的随机变量使方差减小，但是蒙特卡洛模拟的随机数取自伪随机数列，因此并不能得到最小的方差，也就无法有效的减小误差，且蒙特卡洛模拟的收敛速度为，这个收敛速度很慢且很难得到高正确率的结果。

2.2 拟蒙特卡洛模拟方法

与蒙特卡洛模拟相同，拟蒙特卡洛模拟也是在单位区间中通过计算积分，其与蒙特卡洛模拟最基本的区别在于的选取，换句话说，拟蒙特卡洛模拟改善了蒙特卡洛模拟的收敛效果，用低差异序列代替伪随机序列。低差异序列具有低偏差的特征，例如Halton序列、Sobol序列、Faure序列等都是常见的低差异序列。

拟蒙特卡洛模拟的方法也存在误差，只是可以经过修正得到改进。拟蒙特卡洛模拟的误差可以通过以下运算进行估计。对于单位区间中的点集，定义：

因此，已知拟蒙特卡洛模拟的误差，可以得到拟蒙特卡洛模拟的熟练速度为。

相对于蒙特卡洛模拟效果，通常情况下拟蒙特卡洛模拟的收敛速度更好，则其结果的准确性也就更高。但并不能说拟蒙特卡洛模拟在任何情况下都优于蒙特卡洛模拟，从拟蒙特卡洛模拟的误差项中可以看出拟蒙特卡洛模拟的收敛速度与维度d有关，而低差异序列也只有在低维的情况下才能均匀的分布在单位区间内，且随着维度的增高，这种均匀性也就开始降低。对于蒙特卡洛模拟来说，其收敛速度与维度没有关系，也就是说，蒙特卡洛模拟适用于任何维度的问题。因此，在拟蒙特卡洛模拟中，在生成序列之前，必须定义维度，一些学者定义拟蒙特卡洛模拟的维度，一般限制维为40维，有些学者则认为是12或者15维。对于许多金融问题其问题维度是很高的，而蒙特卡洛模拟的结果又存在一定的偏差，为了得到更加准确的结果，在高维情况下可以采用布朗桥的方法，这个方法可以使拟蒙特卡洛模拟适用于高维情况。

3 实证分析

接下来运用蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法对欧式期权进行定价，并用Black-Scholes模型结果作为标准来判断两种方法的好坏。

将以上参数带入Matlab程序，并设定模拟次数为50000次，对于蒙特卡洛模拟用Matlab自带的随机数生成器来产生股票价格路径，拟蒙特卡洛模拟则采用Halton序列来产生股票价格路径，再通过前文提及的定价方法，得到以下结果：

图1中拟蒙特卡洛模拟从28.0819的最大值开始逼近真实值，最终得到20.0036的期权价格，与Black-Scholes定价的结果的误差仅为0.015.而蒙特卡洛模拟则是从41.4396的最大值开始逼近真实值，最终结果为19.7392，与Black-Scholes定价的结果的误差为0.2494.

图2中拟蒙特卡洛模拟从0的最小值开始逼近真实值，最终得到1.4247的期权价格，与Black-Scholes定价的结果的误差仅为0.0008.而蒙特卡洛模拟则也是从0的最小值开始逼近真实值，最终结果为1.4376，与Black-Scholes定价的结果的误差为0.0137

从图1，图2可以看出代表拟蒙特卡洛方法的红线以更快的收敛速度靠近真实值，并且最终结果也更接近真实值。与此同时，代表蒙特卡洛方法的蓝线靠近真实值的收敛速度要稍慢于拟蒙特卡洛方法，并且其最终结果相对于真实值存在一定的偏差。因此可以得出结论，拟蒙特卡洛方法具有更好的收敛速度和结果。

接下来应用布朗桥方法来产生股票价格路径，带入蒙特卡洛和拟蒙特卡洛方法，得到以下结果；

图1中采用布朗桥方法的拟蒙特卡洛模拟从20.5383的最大值开始逼近真实值，最终得到19.9906的期权价格，与Black-Scholes定价的结果的误差仅为0.002.而采用布朗桥方法的蒙特卡洛模擬则是从21.7321的最大值开始逼近真实值，最终结果为19.8327，与Black-Scholes定价的结果的误差为0.1559。

图2中采用布朗桥方法的拟蒙特卡洛模拟从1.1256的最小值开始逼近真实值，最终得到1.4241的期权价格，与Black-Scholes定价的结果的误差仅为0.0003.而采用布朗桥方法的蒙特卡洛模拟则也是从2.2732的最大值开始逼近真实值，最终结果为1.4259，与Black-Scholes定价的结果的误差为0.002。

可以看出在采用了布朗桥方法之后，拟蒙特卡洛模拟和蒙特卡洛模拟的结果都有所改进。

从图3，图4中可以看出，代表应用布朗桥的拟蒙特卡洛模拟的黑线具有最快的收敛速度，没有应用布朗桥的拟蒙特卡洛模拟的收敛速度较应用布朗桥的拟蒙特卡洛模拟的收敛速度要稍微慢一些，同时，蒙特卡洛模拟的收敛速度是最慢的。对于最终结果，应用布朗桥方法的拟蒙特卡洛模拟结果更接近于真实值，且蒙特卡洛模拟结果较真实值的偏离程度比应用布朗桥的蒙特卡洛模拟的偏离程度要大。因此，可以得出结论，拟蒙特卡洛模拟和蒙特卡洛模拟应用布朗桥方法可以得到更好的结果。

4 结论

论文在给出具体欧式期权的参数情况下，分别采用蒙特卡洛和拟蒙特卡洛模拟方法对具体的欧式期权进行定价，并以Black-Scholes欧式期权定价模型的结果作为标准对两种方法进行比较。两种方法的模拟结果显示拟蒙特卡洛模拟方法较蒙特卡洛模拟方法更加有效，收敛速度也更快。但由于论文只对欧式期权进行定价，且问题的维度比较低，因此只能概括出在低维的情况下拟蒙特卡洛模拟更加有效。根据蒙特卡洛模拟的收敛速度公式，可以看到其有效性与问题的维度没有太大的关系，也就是说蒙特卡洛模拟方法适用于所有维度的问题，应用面也更广。而根据拟蒙特卡洛模拟的收敛速度公式可以推出，当问题维度提高的情况下，拟蒙特卡洛方法会出现一定的偏差，尤其在高纬度问题情况下该方法的偏差也很大，因此为了得到更好的模拟结果，论文通过布朗桥等恰当的路径产生法结合运用控制变量法等误差减小方法缩小模拟的误差，从而改善拟蒙特卡洛模拟在高维情况下的表现，使模拟结果更加接近真实值，使该方法适用于高维的问题。

參考文献：

[1] Robert G Bartle. The Elements of Integration and Lebesgue measure[M]. John Wiley &Sons， 2014.

[2] Chun-Yuan Chiu， Tian-Shyr Dai， and Yuh-Dauh Lyuu. Pricing asian option by the fft with higher-order error convergence rate under l?evy processes[J]. Applied Mathematics and Computation，， 2015，252：418-437.

[3] Jean-Pierre Fouque， Chuan-Hsiang Han， and Yongzeng Lai. Variance reduction for mc/qmc methods to evaluate option prices. In Recent Advances in Financial Engineering-Proceedings of the 2008 Daiwa International Workshop on Financial Engineering， 2009： 27-48.

[4] James E Gentle. Random number generation and Monte Carlo methods[M]. Springer Science & Business Media， 2006.

[5] Paul Glasserman. Monte Carlo methods in financial engineering， volume 53[M]. Springer Science & Business Media， 2003.

[6] Max D. Gunzburger， Clayton G.Webster， and Guannan Zhang. Stochastic finite elementmethods for partial differential equations with random input data[J]. Acta Numerica， 2014，23：521-650 .

[7] Huu Tue Huynh， Issouf Soumare， et al. Stochastic simulation and applications in finance with MATLAB programs[J]. John Wiley & Sons， 2011，633.

[8] Ralf Korn， Elke Korn， and Gerald Kroisandt. Monte Carlo methods and models in finance and insurance. CRC press， 2010.

[9] Aravindh Krishnamoorthy and Deepak Menon. Matrix inversion using cholesky decomposition.arXiv preprint arXiv：1111.4144， 2011.

[10]Aim?e Lay-Ekuakille. Optical Waveguiding and Applied Photonics： Technological Aspects， Experimental Issue Approaches and Measurements， volume 10[M]. Springer Science & Business Media， 2014.

（编辑：张萌）

Abstract： Varying interest rates， unpredictable cases， and other complications all put forward higher requirements in the financial derivatives pricing methods. Monte Carlo simulation is an appropriate approach for financial derivatives pricing. It uses the pseudorandom sequence to simulate the price path of the underlying asset， then prices the corresponding options. But this method has some drawbacks： its convergence speed is slow and It can not approach true value effectively by increasing the number of simulation. Quasi-Monte Carlo method improves the shortcomings of Monte Carlo method.，using low-discrepancy sequences instead of pseudorandom sequence， then improves the accuracy of the simulations. This paper prices the European vanilla options using Monte Carlo method and Quasi-Monte Carlo method， then does the comparative analysis for the two methods. The results show that under the condition of low dimensional Quasi- Monte Carlo simulation method can get more precise result， and the convergence speed is faster. Under the condition of high dimension the Quasi-Monte Carlo method can arrive the same results by correction.

Keywords：Monte Carlo；Quasi-Monte-Carlo； European options，；Black-Scholes option pricing model