用张量级数表示特殊函数

征夏明

摘 要：在数学和物理的研究过程中，出现了许多特殊函数，在各领域有其重要作用。一部分特殊函数是由多项式级数表示的，本文中，将运用一种新的思路，用对称张量的级数表示出球谐函数和埃尔米特多项式，同时给出了定义高维球谐函数的方法，这将对理解其数学本质上有所帮助。

关键词：对称张量；球函数；埃尔米特多项式

中图分类号：O411.1 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）05-0252-05

Abstract：Many special functions exist in mathematics， physics or other applications. Some of them are expressed by series of polynomial. In this paper， with a new method， spherical harmonic and Hermite polynomial will be represented.

Key words：Symmetric Tensors； Spherical Harmonic； Hermite Polynomial.

1 球函数

我们知道球函数是在球坐标系下用分离变量法解拉普拉斯方程得出的。球坐标系下，拉普拉斯方程为：

（1.1）

其中关于角变量的部分可由角动量算符的平方表示：

（1.2）

这里的略去了-，只是为了便于表示，并不影响结果。

将分离为：，带入（1.1）整理得：

（1.3）

我们想求出的特征向量，这正是所需要的球函数. 解特征方程 （1.4）

同时有 （1.5）

在球坐标系中，一点的位置可由r=r表示。其中=sinθcosφ+sinθsinφ+cosθ，，，分别为x，y，z轴正方向的单位向量，用分量可写成

。

从而我们可以将关于θ，φ的函数F看作关于的函数。

笔者在这里不加证明的做出猜想：任何关于θ和φ的函数可以展开成关于的幂级数：

（1.6）

式中是三位空間的l阶张量，式中第l项是l个向量的l重点积。

事实上这是比较直观的展开，因为任一l阶张量与l个单位张量做点积，其结果确实是一个l次多项式，结合关于函数用多项式展开的知识，这二者应当是等价的。

思考一下，若想表示球函数，从几何上说必须满足空间中点的中心调和性和与长度无关的性质，即其被定义在球面上，并且与空间中一点到原点的长度无关。

这样我们就可以对（1.6）中的张量做出限制：

1.是对称张量.

，是关于的任意排列（交换群）。

2.的迹为零.

，

即任取两指标，将其设为相同的指标，再对这个指标求和（就是对任意二指标收缩）所得的l-2阶张量是零张量.由于我们已经将张量限制为对称的，因此张量只要对某两个指标满足条件，则对任意两个指标收缩求得的迹都等于0。

（注：，，…是l个不同的指标，与i，j，k等的意义相同，可在1，2，3中取值，下文同理，表示对指标收缩求迹，.为一l-2阶张量。）

解，定义（）= （1.7）

对于一个给定的（），可以构造一个新函数（r），

（1.8）

这里的和（1.7）中的是相同的，只是将其与而不是相乘后再对各指标求和，其中，即.

联想到前面的（1.1）式，如果将（r）看作其中的j，那么（r）是否是（1.1）的解（r）=0？答案是肯定的. 那么在（1.3）中，R（r）=，F（θ，φ）=（），

可得，

（1.9）

这样我们求得了的特征值为-l（l+1），对应的特征向量即（），这正是球谐函数.从而我们推出了球函数与对称且迹等于零的张量间的内在关系.下面证明（r）是（1.1）的解。

（r）=0 从l=0的情况开始，；

这是显然的，因为是零阶张量，为一常数.同样，当l=1，（r）=0；

一般情形时，，是对第m个指标的自变量求偏导，即。

（r）=//

=（+…）+（…）+…）

=

//运用了δ函数交换指标的性质

=（+...）+（（）+（…）+…）

由于我们限定张量是对称且即等于0的，对任意二指标收缩等于0，从而最后一个等式中第一个括号是等于0的，而后面的部分都是与第一个括号对称的，只是调换了指标次序.从而可以断定（r）=0，QED.

这样（1.9）的结论便得以印证。

下面我们思考一下以这种方式定义的球函数的代数结构.在量子力学中，我们利用对易关系和构造了的特征向量的阶梯结构，对于每一个l值，存在m=-l，-l+1，…l-1，l共2l+1个和共有的线性无关的特征向量（因为一个分量上的角动量不可能大于系统的总角动量）。

我们也可以从另一个角度理解这个概念，由（1.9）已知l阶对称且迹为零的张量与的点积是和的特征向量，那么对于一个给定的非负整数l，最多有多少个线性无关的对称且迹为零的张量？（换句话说，是所有l阶线性无关且迹为零的张量构成的线性空间的维数是多少？）

先考虑l阶线性无关的对称张量的个数，记作。事实上这和求构造一个l阶对称张量需要的最多独立元素的个数是等价的，在下面的说明里可以看出。

从l=0开始，显然一个元素就能确定，于是。

当l=1，本身就是对称的，其三个分量需要3个不同的数确定，则.

当l=2，对称矩阵可表示为：

=

需要6个分量确定.显然所有的三维对称矩阵构成了一个六维的线性空间。

考虑一般情形，因为我们的张量是处于3维空间中的方形张量，每个指标可以从1取至3，这样可以抽象成一个问题，l个指标分别如何取值的问题，也就是将l个不同的球放进标上1，2，3的箱子里有多少种放法的问题.可以用隔板法解决：将l个球和两块隔板放在一起混合后不考虑顺序地将l个球取出（对称），有：==其中是组合数，这样可以得出

.

再来分析张量满足迹等于0的条件.对称张量满足

方程等号左端是l-2阶张量，容易验证其仍是对称的，因为对任意二指标收缩都等于0，这会得到多个方程.其左端都是l-2阶张量，则方程的个数是.最后可得线性无关的对称且迹为零的l阶张量的最大个数为，与其他方法给出的结论相同。

目前为止，我们已经说明了对称且迹等于零的张量的一些性质，下面将构造出一组满足这样条件的2l+1个l阶张量，且与球函数的分析性质一一对应，并证明与勒让德多项式的相关性，从而达到用张量表示球函数的目的。

先考虑轴对称的情况，则连带勒让德多项式退化为勒让德多项式.此时（1.1）中的和j（1.3）中的F都是与φ无关的，我们任意地选z轴作为对称轴，当然j和F是关于z轴对称的.我们想到一种直接的构造方式，即多个z轴的单位向量的并积的形式，z轴正方向单位向量记作，用坐标表示为（0，0，1），用分量表示为=，同时有·=cosθ。

我们看到，当然是对称的，下面将证明通过加减运算，将转化为迹为0的张量。

定义映射T：，可将满足一定条件的对称张量映为迹等于零的对称且迹等于零的张量.是所有3维空间下l阶对称张量组成的集合，是所有3维l阶对称且迹为零张量的集合.先看l=0和1的情形，此时，，显然此时迹已经等于0了，有T[1]=1和.再看l=2时，，可写成矩阵：。

想将的迹化为0的一种形式较为简单的方法是减去，I是三维的单位矩阵.写成分量表示为，从而T[]=-.

当l=3，，可以想象出，只有一个顶点上的元素是1，其余都是0。同样可将其减去另一个迹为（0，0，1）的张量，也就是，形状类似于爪形.所以T[]=。

我们发现了规律：将的迹化为零需要加减的张量都是和δ函数的乘积的形式，并将一直加减至δ函数的个数所可能达到的最大值[]（[n]为不超过n的最大整数）.从而对称且迹等于零的张量

（1.10）

其中是待定系数。

在确定这些系数之前，我们先数一下这样的l阶张量的个数，由m个δ函数，l-2m个单位向量组合而成的l阶张量的个数。当m=0，显然是1个；m=1时，是从l个指标中任选两个指标，由于δ函数关于两个指标是对称的，因而与次序无关，可用组合数计算出有个这样的张量（对应系数为的括号中的）.再看m=2的情况，这时需要两次连续选取两个指标，由于δ函数之间的乘积也是可交换的，所以要再除以（为避免重复），得出m=2时有个.这样通过归纳，可以得出由m个δ函数，l-2m个单位向量组合成的所有可能的l阶张量的个数为：

（1.11）

我们可以通过解方程来确定各待定系数，也可从其与勒让德多项式的等价性计算，最后可得出各系数。

这样得到

（1.10）

注：式中最后一项的意义是在l为奇数时出现，偶数时则不存在.符号表示对的所有可能排列求和。

这是前几阶构造出的对称且迹为零的张量：

.

（1.7）式中，（）是与的点积，显然这就是勒让德多项式。

.

事实上，

，

考虑到每一项的l阶张量的个数和其系数，可以看出：

（）= （1.12）

相差一个因数，可由罗德里格斯公式算出，易得：

（1.12）

综上，可以完整的写出（1.6）

F（）=F（θ）=1+++…

+ （1.6）

这就是轴对称情形下的球函数。

下面分析更为一般的情形，即没有轴对称的情况。我们知道此时的球函数。

这个性质說明了在坐标系对z轴作一旋转变换时，球函数的变化过程为一个相位的变化。

我们可以从这个角度构造出一般情况张量，即用关于z轴的旋转变换的特征向量。

设想一线性变换，对z轴逆时针（正方向）旋转α。

可用矩阵表示为，X=RX（1.13）

其特征方程为det（R-λI）=0，解得特征值λ=cos=cosα±isinα=（1.14）。

在实数范围内的情形正是我们之前计算的轴对称情况，特征向量是z轴方向的单位向量，特征值为1.现在我们需要寻找其他满足条件的复特征向量。

将λ=代回方程（1.13），解得=，最后得到，，加上，三者两两正交，我们发现

。

尝试以这样的方式构造：或，由于， ，显然这样的张量是对称且迹等于零的。

为了使结果与成正比，可令其包含m个或的并积（m>0时用，m<0时用），，同时其余的部分是一个最高次为l的关于cosθ的多项式，化简后包含sinθ的m次幂和cosθ的l-m次幂的乘积.由于，可以尝试用l-m个和m个的并积构造张量，.从而可以取其对称且迹等于零的部分，来匹配满足上文中讨论的满足条件的张量的代数结构。

先将（下文中记作）化为对称的形式，再用变换得到同时满足分析性质和代数性质的张量.定义，M将一张量化为对称张量。

，就是对所有指标的任意排列求和，再除以l！.

则，再取

，得到我们需要的对称且迹为零的张量，与（1.7）类似，这里设（1.15）。

这是前几阶的张量。

计算后对应的前几项为：

注：书写过于复杂，不妨记作表示为取一张量对称且迹为零的部分，这也包括了轴对称的情形，因为永远对称。

然而，对于更大的l，会变得难以计算，可以利用如下的等式：

（1.16）

即不直接计算，间接计算 ，从而求得（1.15）中的球函数.

我们知道球函数用多项式表示为：

（1.17）

是连带勒让德多项式。

同时，可用罗德里格斯公式推知系数

（1.18）

可得。

现在观察中或的个数，若依次增大或减小的个数，则有2l+1种可能的（这里限定和不能同时存在），对应有2l+1种可能的，联想到量子力学中角动量算符的特征向量的阶梯结构，其中的关联是显然的。

当用升降算符作用于一个球函数时，将会得到或的量子态，其结果正是将的的个数增大或减小（m≥0时作用会将一个替换为，作用将一个替换为；m<0时相反.）再取的对称且迹为零的部分.

最后，可以写出以球函数为基底的张量级数展式：

（1.19）

事实上这样的球函数张量不仅适用于三维空间，也可以推广至更高维空间，只需取更高维数中的，和，用类似的方法计算系数，便可得出高维空间内的“超球函数”。

2 埃尔米特多项式

在之前讨论的基础上，埃尔米特多项式也可以用同样的方法以张量级数表示。

我们知道埃尔米特多项式是埃尔米特方程的解：

y-2xy+2ny=0 （2.1）

设一n阶张量是对称的，可以将上式改写为张量方程的形式：

（2.1）

式中是Nabla（Del）算符，为，I是d×d的单位矩阵，表示张量积，ζ是方向上的长度为x的向量（x，0，0…，0），用分量表示为=x.

这个方程也可写成分量的形式：

（2.1）

其各指标可在1，2…d中取值，意义是我们是在d维空间中讨论这个问题的。

定义算符

（2.2）

式中最后一项的意义是n为奇数时ζ存在，偶数时则不存在.的形式与（1.10）相似，区别在于其目的不是将对称张量的迹化为零，而是将其转化为满足埃尔米特方程的解.能看出每一项的系数正负交替且以的比例减小。

这是前几阶的埃尔米特对称张量：

关于埃尔米特多项式的递推关系和微分性质同样有张量的形式：

（2.3）

证明：由（2.2），

（偶数情形，奇数同理.），

而

，

通过计算每个括号中相同张量的个数，并利用恒等式，可得证.□

（2.3）式可得出关于相邻的3阶埃尔米特对称张量的递推公式：

（2.4）

证明：将（2.3）式，

写成，同时将（2.1）变换为

，

将这三式整理，

得

，

虽然张量积的运算一般不满足消去律，但对单位矩阵I成立，从而QED□

最后通过搭配系数，埃尔米特多项式和埃尔米特对称张量的关系可表示为：

（2.5）

是方向的单位向量，坐标表示为（1，0…，0），分量表示为。

3 结语

利用张量级数表示特殊函数，其数学规律更容易记忆，物理意义或几何意义更为鲜明，这是一种新的思路和方法，缺陷在于实际计算中并不易于使用。

注：文中关于张量运用了多种不同的符号，在不同的计算情形下选择了不同的表示方法，例如张量就表示这个n阶张量的整体，而是这个张量的一个分量，当指标确定了表示哪一个分量也就確定了，比如就是第一纤维取1，第二纤维取2…，第n纤维取n的这个分量（第几纤维相当于矩阵中行与列的推广）.文中出现的所有张量都是方形张量，即所有纤维上的指标所可能取的个数都是相等的（相当于矩阵中方阵的）.可写成关于空间中选定基底的线性组合的形式：，当然可用爱因斯坦求和约定省略求和符号。

参考文献

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