转化思想在高中数学解题中的应用

杨继承

摘 要：介绍了转化思想在高中数学解题中的应用，包括数形转化、换元转化、空间向平面转化、函数与方程的转化、实际问题向数学问题的转化等，转化必须建立在等价的基础上.

关键词：解题；转化；等价

美籍匈牙利数学家波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。”也就是说，解题过程是不断转化的过程，在数学解题中经常要用到转化思想。许多数学问题直接去解往往比较困难，如果应用转化的思想，从另一个角度或者另一种方式去思考，能使问题变得简单明了，易于解决.

一、数形转化

例1.（教材必修2 P115第7题）设a，b，c，d∈R，求证：对于任意p，q∈R，

■+■≥■

解析：设A（a，b），B（c，d），C（p，q）

则AB=■，AC=■

BC=■

因为对于平面上的三点A、B、C，总有AC+BC≥AB

所以■+■≥■

小结与反思：数是对形的定量分析。形是数的直观反映。数形结合就是在形中觅数，数中思形。把数量关系中的问题转化为图形的性质问题来考虑，把图形性质问题转化为数学问题来研究。

加强数形转化能力的培养有助于提高学生的形象思维和直观思维能力。

二、换元转化

例2.求函数y=x-4■+4的最小值.

解析：令■=t（t≥0），有x=t2-1

则y=t2-4t+3=（t-2）2-1（t≥0）

所以，当t=2即x=3时，y有最小值-1

小结与反思：通过换元法将陌生的问题情境转化为我们熟悉的数学模型（二次函数在区间上的最值问题），以利于我们用熟悉的经验去解决，达到化难为易、化繁为简的目的.

三、空间向平面转化

例3.长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3、2、1，沿长方体的表面从A到C1的最短距离为 .

■

解析：如图（1），在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1；

如图（2）所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1=■=■，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是■；

如图（3）所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1=■=3■，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3■.

如图（4）所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1=■=2■，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2■.

由于3■<2■<■，所以沿长方体表面上由A到C1的最短距离为3■.

小结与反思：解决空间几何体表面上两点间最短路线问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间的线段长，这体现了数学中的转化思想，对学生的空间想象力提出了较高的要求。

四、函数与方程的转化

例4.已知函数f（x）=2x-a，x≤0，x2-3ax+a，x>0，有3个不同的零点，求实数a的取值范围.

解析：依题意，要使函数f（x）有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x-a=0，即2x-a必有一个根，此时00时，方程x2-3ax+a=0有两个不等的实根，即方程x2-3ax+a=0有两个不等的正实根，于是有Δ=9a2-4a>03a>0a>0，由此解得a>■，

因此，满足题意的实数a需满足0■，即■

小结与反思：函数是方程与不等式的中介，它们既有区别又有联系，函数、方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式问题需要函数的帮助，有时需要通过探究函数的单调性和最值来解决问题。

五、实际问题转化为数学问题

例5.已知美國苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元。设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=400-6x，040

（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万只）的函数解析式。

（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iphone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润。

解析：看到→看到分段函数及求最大利润

↓想到→列出函数解析式，利用二次函数模型或“对

勾”函数模型求解。

（1）当0

当x>40时，W=xR（x）-（16x+40）=-■-16x+7360

所以，W=-6x2+384x-40，040

（2）当0

当x>40时，W=-■-16x+7360，由于■+16x≥2■=1600

当且仅当■=16x，即x=50∈（40，+∞）时，取等号，所以Wmax=5760

综合可知，当x=32时，W取得最大值为6104万美元。

小结与反思：解答数学应用题的关键：一是认真审题，读懂题意，理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题；二是灵活运用数学知识和方法解决问题，得到数学问题中的解，再把结论转译成实际问题的答案。

转化的实质是化复杂为简单，化抽象为直观，化陌生为熟悉，化未知为已知，转化必须建立在等价的基础上，而扎实的基础知识是实现转化的前提。因此，教师在日常的课堂教学中要夯实学生的基础，重视培养学生的各种能力，为他们在解题中顺利“转化”铺路。

参考文献：

顾桂斌.优化解题的重要手段：转化[J].高中数学教与学，2006（5）.