一类 Rosenau方程Cauchy问题解的存在性和爆破

付庭鹏, 王 颖

(电子科技大学 数学科学学院, 四川 成都 611731)

一类 Rosenau方程Cauchy问题解的存在性和爆破

付庭鹏, 王 颖*

(电子科技大学 数学科学学院, 四川 成都 611731)

在一维空间中研究一类带阻尼Rosenau方程的Cauchy问题,首先用压缩映射原理得到局部解的存在性和唯一性,讨论整体解的存在性,最后用凸性原理得到解的爆破.

Rosenau方程; Cauchy问题; 整体解; 爆破

1 预备知识

本文讨论带阻尼Rosenau方程的Cauchy问题

(1)

u(x,t)是未知函数,f(s)是已知非线性函数,φ(x)和ψ(x)是已知初值函数,α是常量,下标t表示对t的偏导.

经典Rosenau方程为

(2)

和

(3)

文献[1]证明了(1)式Cauchy问题解的存在性和唯一性;文献[2]证明了Rosenau方程(2)的解在活动边界区域的存在性;文献[3]用Galerkin有限元方法讨论了(2)式在一维空间中的数值逼近,并得到了最优H2估计和次最优L2模估计;文献[4]给出了(3)式Cauchy问题解的存在性和唯一性证明;文献[5]证明了在α+β+γ=1时小振幅解的衰减性和散射;文献[6]研究了如下含流体阻尼项IMBq方程的Cauchy问题

(4)

并得到其解的整体存在性和爆破;文献[7]得到广义阻尼IBq方程(4)的小振幅解的整体存在性和渐近行为,结果表明阻尼项对Cauchy问题的解有影响;文献[8]考虑了推广的多维非线性方程的Cauchy问题

(5)

2 局部解的存在唯一性

用压缩映射原理证明问题(1)局部解的存在唯一性.

引理 2.1[9]假设f(u)∈Ck(R),f(0)=0,u∈Hs∩L∞,且k=[s]+1,s≥0,则当‖u‖∞≤M有

K1(M)是依赖于M的常数.

引理2.2[9-10]假设f(u)∈Ck(R),f(0)=0,u∈Hs∩L∞,且k=[s]+1,s≥0,则当‖u‖∞≤M,‖v‖∞≤M有

‖u‖Hs≤M,‖v‖Hs≤M,其中K2(M)是依赖于M的常数.

引理 2.3[8]若1≤p≤∞,对几乎所有的t,u(x,t)∈Lp(R),且若I⊂[0,∞),函数t→‖u(·,t)‖p属于L1(I),则有

引理 2.4 设s∈R,T>0,φ∈Hs,ψ∈Hs,且h∈L1([0,T];Hs-2),则Cauchy问题

(6)

存在唯一解u∈C([0,T];Hs)∩C1([0,T];Hs),且对于所有的0≤t≤T,u满足

(7)

证明 对(6)式做Fourier变换得

(8)

注意到

并且

所以有

和

于是(7)式得证.

定义函数空间

其范数为

易知X(T)为Banach空间.由s>1/2和初值条件φ∈Hs,ψ∈Hs,令A=‖φ‖Hs+‖ψ‖Hs有

显然,对于任一固定的A>0和T>0,Y(A,X)是X(T)的一个非空有界闭凸子集.

由Sobolev嵌入定理,若u∈X(T),u∈C([0,T];L∞),则‖u‖L∞≤CS‖u‖Hs.

令ω∈Y(A,T),考虑如下线性方程

(9)

令S表示ω到(9)式的解的映射,初值为(1)式中已知条件.需要证明:若选择适当的T、S,有唯一指向Y(A,T)的映射,需要用到压缩映射原理和引理2.1.首先证明下面的引理.

引理 2.5[11]假设s>1/2,φ∈Hs,ψ∈Hs且f(u)∈C[s]+1(R),若T相对于A足够小,则S是Y(A,T)到自身的一个压缩映射.

证明 首先证明T足够小时,S是自身的映射.设ω∈Y(A,T)已知,定义

由引理2.3易知

其中K1(A)是依赖于A的常数.由上面不等式得到h(x,t)∈L1([0,T];Hs).由引理2.4知,若给定(6)式中初值,则(9)式的解u=S(ω)属于C([0,T];Hs)∩C1([0,T];Hs)且

让T足够小,满足

(10)

则‖Sω‖X(T)≤A,所以S(Y(A,T))⊂Y(A,T).

(11)

由引理2.3和2.4得

所以有

令T足够小,使(10)式成立,且

于是得到‖U‖X(T)<‖W‖X(T),则S:Y(A,T)→Y(A,T)是完全压缩的,引理得证.

定理 2.1 假设引理2.5的条件成立,则(1)式存在定义在最大时间区间[0,T0)上唯一局部解,且u(x,t)∈C([0,T0);Hs)∩C1([0,,T0);Hs),并且若

则T0=∞.

证明 由引理2.5和压缩映射原理,选择合适的T>0,S有唯一固定的解u(x,t)∈Y(A,T),且是(1)式的强解.对于每一个T>0,不难证明解u∈X(T′)的唯一性.

事实上,令u1,u2∈X(T′)是(1)式的2个解,令u=u1-u2,则有

(13)

由空间X(T′)的定义,s>1/2和Sobolev嵌入定理,有‖ui(t)‖∞≤C1(T′),i=1,2,且0≤t≤T′

其中C2(T′)是依赖于C1(T′)的常数.由Young不等式、Poincaré不等式,即‖w‖2≤λ0‖w‖2,∀是正常数得

C3(T′)是依赖于C2(T′)的常数,于是得

(14)

由Gronwall不等式,得到‖u‖2+‖ut‖2≡0,0≤t≤T′,于是u≡0,0≤t≤T′,所以(1)式有至多一个解属于S(T′).

现令[0,T0)为u∈X(T0)的最大存在区间.下面证明若(12)式满足,则T0=∞.

假设(14)式成立,且T0<∞.对于每一个T′∈[0,T0),考虑Cauchy问题

由(12)式得

K是独立于T′∈[0,T0)的正常数.由引理2.2和压缩映射原理可知:存在一个常数T1∈(0,T0),使得对每个T′∈[0,T0),(15)式有唯一解v(x,t)∈X(T1).令T′=T0-T1/2且定义

(16)

3 整体解的存在唯一性

证明(1)式整体解的存在唯一性.首先对(1)式作一个局部解的先验估计.

(17)

其中Λ-αu=F-1[|ξ|-αFu],F和F-1分别表示在R上的Fourier变换和Fourier逆变换.

证明 由(1)式得

(18)

(·,·)表示L2空间的内积运算.(18)式在区间[0,t]上对t积分,得到(17)式.引理得证.

定理 3.1 设s>2,φ∈Hs,ψ∈Hs,Λ-1ψ∈L2,F(φ)∈L1,f(u)∈C[s]+1(R),F(u)≥0,或f′(u)有下界,即对任意s∈R,存在一个常数A0,使得f′(s)≥A0.(1)式存在一个整体解u∈C([0,∞);Hs)∩C1([0,∞);Hs).

证明 首先证明s=2的情况.若F(u)≥0,则由(17)式得

再由Gronwall不等式得

(19)

有

再由Gronwall不等式得

(20)

由文献[10]知

(21)

由定理2.1,可知(1)式存在唯一的整体解

现证明s>2的情况.由(7)式中的估计得

(22)

由(21)、(22)式和‖u(t)‖∞<∞得

综上所述,(1)式存在唯一的整体解u∈C([0,∞);Hs)∩C1([0,∞);Hs),且Λ-1ut∈H2.

4 解的爆破

根据凸性原理来讨论(1)式解的爆破[12-16].首先,给出引理4.1.

引理4.1[17]设t≥0,I(t)是一个二阶可导的正函数,满足不等式

(23)

如果以下条件有一个成立:

3)E(0)>0且

则(1)式的解u(x,t)在有限时间内爆破.

证明 设T=+∞,令

(24)

其中β,τ>0(会在后面给出其定义),则有

(25)

因此

(26)

由(1)式得

(27)

由Cauchy不等式得

(28)

由(24)～(28)式知

(29)

由(17)式得到

则由(23)和(29)式知

(30)

若E(0)=0,令β=0,由(29)式知

(31)

定义J(t)=(I(t))-λ,其中λ=μ/4,则有

(32)

由条件3)知J′(0)<0,令

(33)

由J′(t)的连续性知,t*是正的,在(32)式的两边乘以2J′(t)得

(34)

对(34)式两边积分得

由条件3)知

因此,由J′(t)的连续性知

(35)

其中0≤t

存在T1满足J(T1)=0,其中

0

因此,I(t)在T1处趋于无穷大,在条件1)、2)、3)任何一个满足的情况下,I(t)在T1处均趋于无穷大,这与最大时间存在值是无限的相矛盾,因此最大时间存在值是有限的.完成证明.

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2010 MSC：35L30; 35Q35

(编辑 郑月蓉)

Existence and Blow-up of the Solution of the Cauchy Problem for the Generalized Rosenau Equation

FU Tingpeng, WANG Ying

(DepartmentofMathmaticsandScience,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,Sichuan)

This paper considers the well-posedness of solution for the Cauchy problem of the generalized damped Rosenau equation in R. Frist, we prove the existence and uniqueness of the local solution for the problem by the contraction mapping principle. Then the existence of the global solution of the problem is proved. Finally, we study the blow-up of the solution for the problem by the concavity method.

Rosenau equation; Cauchy problem; global solution; blow-up of solution

2016-01-19

国家自然科学基金(11571063)

O175.29

A

1001-8395(2017)01-0038-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.006

*通信作者简介：王 颖(1979—),女,副教授,主要从事偏微分方程应用的研究,E-mail:18215596503@163.com