时空背景与表象空间

倪盼睿

【摘 要】文章通过讨论跃迁振幅与时空线元之间的关系、表象空间中线元与能量-动量张量时间分量之间的关系，得到了路径积分在四维时空背景下以及用无限小生成算符表述的形式、表象空间与四维时空之间的对应关系，以及时空曲率张量如何影响表象空间里的曲率，同时揭示了弯曲时空下动量算符对于抽象指标的测不准原理。

【关键词】表象空间 跃迁振幅 时空线元 路径积分

在量子力学中，我们可以用路径积分来计算跃迁振幅，并且此时的路径已经是在四维时空意义下的了。现在的问题是如何写出四维时空意义下每个路径的相因子，以及其与量子算符之间的联系。另外，抽象量子态矢可以看作是时间参数的单参函数，那么一个随时间演化的量子事件在所有表象中对应的保长不变量，即几何量上的线元，是可以通过作差来计算的。

一、路径积分在四维时空背景下以及用无限小生成算符表述的形式

（一）坐标表象特征值微元的无限小生成算符表达

我们首先写出无限小生成算符的表达形式：

（1.1.1）

其中I是单位矩阵，通过移项，我们可以得到：

（1.1.2）

此时可以取左边矩阵的对角元，即：

（1.1.3）

考虑到量子态的归一性，最终有：

（1.1.4）

（二）路径积分新的表述形式

经典的路径积分具有如下的形式：

（1.2.1）

其中的Lagrange量是一个附在运动路径上不随坐标改变的标量，在四维时空中我们就可以找到这样的一个量，即时空线元长度。此时式（1.2.1）改写为：

其中J是变换矩阵。……