几何尺规作图

段贵军

摘 要：根据自制特制容器量具解决几何尺规问题。背景：本文所述为2000多年前古希腊几何尺规作图中的①化圆为方和③倍立方两个问题，同时解决我提出的几个相似问题。

关键词：几何尺规作图 无刻度直尺 圆规 自制特制容器具 溶液（水） 化圆为方 倍立方 化方为圆

中图分类号：G40-09 文献标识码：A 文章编号：1003-9082 （2017） 04-0116-01

一、自制特制容器量具设计图

二、自制特制容器量具介绍

1.半圆杯（甲）：制造一个盛水空间和已知任意圆O直径R大小相等，厚度为1的半圆柱体杯，简称半圆杯。如图（己）为任意圆O，直径为R，厚度为1的圆柱体，沿直径切开，变成半圆柱體，半圆杯的盛水空间和这个半圆柱体形状相同。切面在上面并且平行水平面，如图（甲）所示，下面有杯柄可以放置。从上面倒满水溶液，水溶液体积为r2×π×（1/2）×1（厚度）=r2×π×（1/2）。因为本容器量具的直径和任意圆直径相等，所以，每画一个任意圆就需要制造一个容器量具，虽繁琐，却无它法。

2.直角杯（乙）：盛水空间是厚度为1的等腰直角三角形柱体杯。如图（庚）是厚度为1的正方形柱体，沿对角线切开，取一半形状，将顶点A朝下，切面在上面平行水平面，这就是盛水空间形状，如图（乙）所示，下面有杯柄可以放置。倒入水溶液后，因为AB=AC。水溶液的体积等于A B×A C×（1/2）×1（厚度）=（A B）2×（1/2）=（A C）2×（1/2）。本工具可以通用。

3.正直三棱锥杯（丙）：如图（辛）是一个正方体，沿BCD平面切开，变成A-BCD正三棱锥体，让A点朝下，切面在上面并且平行水平面，这就是盛水空间形状，下面是杯柄可以放置，如图（丙）所示。从上面倒入水溶液，AB=AC=AD，水平面到底端顶点A的垂直距离为高h。本工具可以通用。

4.底面积为1×1的直柱杯（丁），也叫管杯：盛水空间是截面积为1×1的正方形，高度为h的正方形柱体杯，下面有杯柄可以垂直放置。里面倒入水溶液，水溶液的体积等于1×1×h（高度）=h。本工具可以通用。

5.周长直径杯：如图（戊）所示形状。盛水空间是厚度为1的等腰三角形柱体形状，也就是v字形杯。底端是杯柄，可以放置。从上面倒入水溶液，AB=AC，BC代表圆直径R，BC到A点的高h代表圆周长。这是根据圆周长÷圆直径=π的原理制造的容器量具。倒入水溶液后，水溶液体积为BC×h（高）×（1/2）×1（厚度）=BC×h×（1/2）。本工具可以通用。

三、利用容器量具解决几何尺规作图问题

1.化圆为方：先画出任意圆，再画出一正方形，使正方形面积等于任意圆面积。

做法：先画任意圆，直径为R，半径为r。制造一个直径为R的半圆杯（甲），倒满水。杯中水溶液的体积为（R/2）2×π×（1/2）×1（厚度）=r2×π×（1/2）。将半圆杯中的水倒入直角杯（乙）中，直角杯中的水溶液体积为AB×AC×（1/2）×1（厚度）=AB2×（1/2）。又因为r2×π×（1/2）=AB2×（1/2），所以，r2×π=AB2，∴以AB为边长画正方形，其面积与直径为R的任意圆面积相等。

2.倍立方：先画一个正方体，体积为V1，再画一个正方体，体积为V2 ，并且使V2=2V1。

做法：取两个正直三棱锥杯（丙）（1）和（2），先画任意一个正方体，边长为a，首先向其中一个正直三棱锥杯（1）中倒水，当AB=AC=AD=a时为止，此时杯中水溶液体积为Vm，之后将杯（1）中水溶液倒入另一个正直三棱锥杯（2）中，然后再重复做一次，则正直三棱锥杯（2）中的水溶液体积为2Vm，此时正直三棱锥杯（2）中的水溶液水平面与杯棱边交点B`、C`、D`到底顶点A`的长度为b，以b为边长画正方体，其体积为V2，V2=2a3=2V1。

3.分立方：是倍立方问题的另一种形式。即先画一正方体体积为V1，再画一个正方体，体积为V2， V2/ V1=1/n。这个问题不难，可以参照上面的倍立方画法解决。

4.画π1/2=？、π=？、π2=？，A1/3=？、A=？、A3=？，A1/2=？、A=？、A2=？等等。可以参照上面的化圆为方和倍立方画法解决。

5.画方为圆：先画任意正方形，再画一个圆，使圆面积等于正方形面积。这是化圆为方的反形式。

做法：先画任意正方形，边长为a，向直角杯（乙）中倒水，当AB=AC= a时为止，此时直角杯中水溶液体积为AB×AC×（1/2）×1（厚度）=a2×（1/2）。然后将此水溶液倒入周长直径杯（戊）中，则周长直径杯中的水溶液体积为BC（直径）×h（高或周长）×（1/2）×1（厚度）=a2×（1/2），所以，BC×h=a2，再以BC为半径画圆，当厚度为1时，又因为π= h（周长）÷BC（直径），所以，体积为（BC） 2×π×1=（BC） 2×（h÷BC）=BC×h= a2，所以，以BC为半径画圆的圆面积等于已知任意正方形面积。

四、其它相关问题

其它相关问题都可以参照本法原理去解决。

以上几何作图法看上去很麻烦，但这只能这样去解决，可能还有其它方法，今后去探索之。