基于Landweber迭代重构河流污染物初值

邢利英　张国珍　孙三祥　饶小波

摘要：采用Landweber迭代建立了一维河流水体污染物非恒定输运逆问题模型，通过某时刻实测值来反演污染物初始浓度分布，应用Landweber迭代算法反演了一维纯扩散和对流一扩散过程两个算例。结果表明：Landweber迭代能准确重构污染物的初始分布，并且该方法具有良好的抗干扰性；当测量误差较大时，该算法仍能较好地反演污染物初始浓度，即Landweber达代可以较精确地反演一些非连续的污染物初始浓度，可以较好地解决一些连续污染物初值和污染源项的识别问题。

关键词：纯扩散方程；对流-扩散方程；Landweber迭代；污染物；初值

水污染模型是环境动力学中重要的研究课题。一些有机物质、有毒有害物质、重金属的输运过程符合对流一扩散方程，关于对流一扩散方程的反问题，有许多不同的算法，比如基于马尔科夫链的贝叶斯法（B-MCMC）、Tikhonov正则法（TRM）、遗传算法（GAM）和时空全域配点法（MQCM）等。Hazart A，等应用B-MCMC重构了点污染源的位置、释放时间和释放量：李功胜等应用一种最佳迭代正则化算法反演污染源项，数值计算结果表明，在测量数据存在干扰时，这种算法仍可以精确、稳定地反演污染源项；徐波等提出应用GAM来确定源项，将源项识别问题转变为优化问题，从任意的初始猜测值开始，通过交叉变异算子较为精确地寻找全局最优解：关于初始条件的反演问题，李子等采用时空全域配点法求解一维污染物对流一扩散过程的源项识别问题。

上述数值方法反演速度比较快，能够满足工程的要求，但不可避免地存在一些问题：B-MCMC需要估计一些参数的先验概率分布，若这些估计不准确，则可能导致较大的误差：TRM需要一个较好的近似解，不断验算正则化参数，以便得到一个较为合适的重构值；针对GAM反演源项，需要编制复杂的程序，包括选择算子、交叉算子、变异算子，这3个算子又包含交叉概率和变异概率等参数，这些参数对于模拟结果有較大影响。目前来说，这些参数的选择主要依靠经验，若选择不合适，则可能需要更多的训练时间搜寻最佳结果。Landweber迭代不存在以上问题，汪继文等应用Landweber迭代重构了基于时间和空问变量的热传导方程的源项。基于上述分析，本文采用Landweber迭代重构非恒定河流污染物输运的初值。