巧构图形 妙解试题

刘成龙

摘 要：构造法是指根据题设条件或结论所具有的特征、性质，进而构造出满足条件及结论的数学模型.构造图形是构造的重要手段，在问题的转化中有积极作用.以高考中与向量有关的最值问题为例给出构造图形法的具体应用.

关键词：图形；构造；最值问题

构造法是指根据题设条件或结论所具有的特征、性质，进而构造出满足条件及结论的数学模型[1].构造法的核心是运用转化思想，进行命题转换，用产生的新方法或从新的角度解决原问题.波利亚指出：“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动.”可见，构造法在解题活动中有积极作用.

高中数学解题常用的构造方法有：构造方程、函数、图形、数列等.其中构造图形解题就是根据条件或结论中的数量关系，构造适合的图形，进而再运用相关几何性质解决问题.现以高考中与向量有关的最值（范围）问题为例说明构造图形法的应用.

类型一 构造三角形

例1 （2016年四川卷理科10题）在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是（ ）

A.434 B.494 C.37+634 D.37+2334

分析 如图1，因为|DA|=|DB|=|DC|，所以A，B，C在以D为圆心的圆上，即D为△ABC外心.由DA·DB=DB·DC，得DB·AC=0，所以DB⊥AC，同理可得DA⊥BC，DC⊥AB，所以D为△ABC垂心.所以△ABC为等边三角形.由DA·DB=|DA|·|DB|·cos120°=-12BD2=-2，得BD=2，BC=23.

延长CB到Q，使QB=BC.又B，M分别为CQ，CP中点，所以MB=12QP.故求|BM|2max，只需求（QP）max，显然当QP经过圆心A时，取得最大值.延长AD交BC边于点O，O为BC中点，且AO⊥BC，OQ=33.故（QP）max=AQ+1=AQ2+QO2+1=33+3（3）2+1=7，所以|BM|2max=（72）2=494.

评注 本题也可利用三角换元、柯西不等式等方法解答，但计算量大且运算复杂.通过构造三角形△PCQ，利用中位线定理等平面幾何知识，大大降低了运……