对称性在高等数学积分计算中的应用

【摘要】积分计算是高等数学教学中的重点和难点之一，如何进行积分计算，教学过程中对每一类积分都给出了相应的计算方法。然而有些积分的被积函数和积分区域比较复杂，计算起来比较困难，甚至有些积分采用常规的方法无法计算。对称性是积分计算中经常采用的积分技巧，可以把问题简单化，减少计算量。对具有一定特性的被积函数和积分区域，对称性可以展现出高效快捷的计算优势。

【关键词】对称性 积分

【中图分类号】O172.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）09-0031-02

积分学是高等数学教学中的重点和难点，内容包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分[1，2]。在高等数学教学的过程中，对每一类积分都罗列出很多种计算方法。每一类积分计算都有很多的难点，想要真正的掌握并非易事，并且各种积分之间的相互转化就更为复杂。然而在积分计算的过程中，有些积分的积分区域比较特殊（例如：积分区域具有对称性）或者被积函数具有奇偶性，这类积分的计算运用一定的技巧，可以省掉繁琐的计算过程，从而达到简单、快捷、高效和准确的目的。

一、定义

对称性主要是指积分区域的对称性。二维平面上的区域关于坐标轴的对称以及关于直线y=x对称。三维中是空间区域关于三个坐标面的对称以及关于面y=x，z=x和y=z的对称。轮换对称性是对称性的一种特殊情况，二维上是关于直线y=x对称，三维上是关于面y=x，z=x和y=z的对称。

定义1.1：坐标轴对称：

区域，对任意的（x，y）∈D，如果（x，-y）∈D，则区域D关于x轴对称；如果（-x，y）∈D，则区域D关于y轴对称。

定义1.2：坐标面对称：

区域，对任意的（x，y，z）∈Ω，如果（x，y，-z）∈Ω，则区域Ω关于xoy面对称；如果（x，-y，z）∈Ω，则区域Ω关于xoz面对称；如果（-x，y，z）∈Ω，则区域Ω关于yoz面对称。

定义1.3：轮换对称性：

①区域，对任意的（x，y）∈D，如果（y，x）∈D，则区域D关于变量x，y具有轮换对称性。

②区域，对任意的（x，y，z）∈Ω，如果（z，x，y）∈Ω，（y，z，x）∈Ω，则区域Ω关于变量x，y，z具有轮换对称性[3]。

二、对称性在积分计算中的应用

定理1：f（x，y）是有界闭区域D上的可积函数，如果闭区域D关于x轴对称，则有

其中：。

定理3：f（x，y，z）是定义在闭区域Ω上的可积函数，如果区域Ω关于xoz面对称，则有

其中：。

例1.计算积分，其中

解：此题目中的被积函数比较复杂，如果采用常规的运算方法，过程非常复杂，且难以得到正确的结果。如果注意到积分区域关于xoz面都对称，被积函数关于y是奇函数，根据定理3则有：原式=0。

定理4：f（x，y，z）是定义在曲面∑上的可积函数，如果曲面∑关于xoz面对称，则有

其中：。

例2.设有向曲面，方向取上侧，计算曲面积分

① ② ③

解：积分区域关于xoz面和yoz面对称，然而这些都是第二类曲面积分的计算，但是可以通过两类曲面积分之间的关系，转化为第一类曲面积分的计算。曲面的法向量，方向余弦分别为，，，r=a，则有

①，②，

③，其中

三、轮换对称性在积分计算中的应用

定理5：f（x，y）是有界闭区域D上的可积函数，如果区域D关于变量x，y具有轮换对称性，则有

①，

②，当f（x，y）=-f（y，x），

，当f（x，y）=f（y，x），其中D1是D位于直线y=x的下半部分。

例3.计算，其中D：0≤x≤a；0≤y≤a。

解：积分区域关于变量x，y具有轮换对称性，被积函数f（x，y）=f（y，x），令D1是D位于直线y=x的下半部分，采用极坐标计算则有：原式

。

定理7：f（x，y，z）是定义在空间光滑（或分段光滑）的曲线L上、闭区域Ω上以及曲面∑上的可积函数，如果曲线L、闭区域Ω以及曲面∑关于变量x，y，z具有轮换对称性，则有

①，

②，

③。

例4.计算积分，其中L为球面x2+y2+z2=a2被平面x+y+z=0所截的圆周。

解：此积分计算，如果采用第一类曲线积分的常用方法：统一变量、化为定积分、积分限从小到大，计算起来过程就比较繁琐。如果注意到积分曲线是过坐标原点的圆，曲线关于变量x，y，z具有轮换对称性以及被积函数的特殊性，则有，于是：原式=。

四、结语

对称性在高等数学积分计算中确实起到了化繁为简、减少计算量的作用。但是在运用对称性的过程中一定注意积分区域的是如何对称的以及被积函数是关于哪一个变量具有奇偶性，积分区域的对称性和被积函数的奇偶性要配对，两者同时满足才能利用定理。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]张兴永，杨宏晨，等.高等数学（第二版）[M].煤炭工业出版社，2014.

[3]秦勇.轮换对称性在积分中的应用[J].常州工学院學报，2015，28（3）：62-65.

作者简介：

刘记川 性别：男 出生年月：1982年9月 研究方向：偏微分方程反问题数值解。