二次函数在高中数学中的应用

谢锐升

【摘要】通过进一步理解函数的概念，引导学生自主学习和理解二次函数的单调性、最值与图象的特点等知识，让学生掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想，提高学生的数学素养。

【关键词】二次函数 基本概念 基本性质

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）09-0095-01

二次函数是中学数学中最重要的函数之一，初中教材中，虽对二次函数作了较详细的研究，但初中学生基础薄弱，接受能力较差，这部份内容的学习多是机械的。进入高中以后，二次函数常与方程、不等式相联系综合地进行考查，是高考重要的考点，因此要引导他们对二次函数的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）进一步深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中階段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来深入认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

例1：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）的解析式。

这里让学生理解为求自变量为x+1时的函数值。把x+1看成原自变量x，考虑整体代入，求出解析式。

例2：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）的解析式。

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。

f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，

再用x代x+1得：f（x）=x2-6x+6

（2）变量代换法：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1

∴f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6

从而f（x）=x2-6x+6

代换法是求复合函数解析式的常用方法。

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，]及[，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

例3：设f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。求：g（t）并画出y=g（t）的图象

解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1

当t<0时，g（t）=f（t+1）=t2-2

解题时要引导学生弄清楚题意。一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

三、含二次函数的复合函数的单调性

在高一数学必修一的基本函数中往往将两个基本函数组成复合函数考查函数的单调区间。我们将考虑函数的定义域，考虑u=g（x）与y=f（x）的单调性，从而求出y=f[g（x）]的单调性。

例4：求函数的递减区间。

解：先求函数的定义域，由得，或x>3.令

由于对数的底数0.1<1，故已知函数是减函数，欲求它的递减区间，只要求出函数的递增区间，由于，可得<

的递增区间为（3，+∞），从而可得的递减区间为（3，+∞）。

判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，也可以画出函数图像求解。

四、二次函数与方程

结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系。依照一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与二次函数ax2+bx+c=0（a≠0）的图像间的关系的探讨，推广到一般函数，得到以下结论：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有公共点函数y=f（x）有零点。

此等价关系揭示了方程、函数的图像、函数间的内在联系。但它在具体的使用过程中还有下面的变形：

方程f（x）=g（x）有实根函数y=f（x）的图像与y=g（x）图像有公共点函数y=f（x）-g（x）有零点。

总之，二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，本文仅作小议，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。