圆中的“知二求一法”

何梅

摘要：在运用垂径定理时，添加辅助线的目的是构造直角三角形，该直角三角形的三条边分别是：半径，弦心距和弦，而在直角三角形中，已知任意两条边长可以求出第三边，也就是说对于圆中的直径、弦长、弦心距和弓形的高四个量来说，已知任意两个量都可以求出其余的量。

关键词：垂直于弦的直径；半径；弦；弦心距；弓形的高；直角三角形；勾股定理

垂径定理不仅是证明线段相等、角相等、弧相等的重要依据，而且还为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，我们在学习这部分知识时，要注意理解垂径定理的理论基础：教材中通过对一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能够完全重合这一事实，指出：“圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴”，然后利用圆的轴对称性探究得出了垂径定理，因此，圆的轴对称性是垂径定理的理论依据。由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性，通过对垂径定理的教学，对学生渗透类比，转化，数形结合，方程，建模等数学思想和方法，培养学生实验，观察，猜想，抽象，概括，推理等逻辑思维能力和识图能力。

垂径定理在具体运用中具有一定的灵活性。对于在垂径定理这类题中为什么添加“半径”这条辅助线的引导应该非常具体，应该做到让学生“不仅知其然，还要知其所以然”。如：一些问题的图形或条件中没有出现“垂直于弦的直径”，而是出现“垂直于弦的半径或圆心到弦的距离”，此时也可以利用垂径定理。在解决圆中有关弦、弧等问题时，若没有给出“垂直于弦的直径或半径、圆心到弦的距离”，通常是过圆心作弦的垂线段或直径、半径，构造出利用垂径定理的条件。

垂径定理告诉我们：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。如图1

∵ AB是直径， AB⊥CD

∴CM=DM，AC⌒=AD⌒ =，BC⌒=BD⌒

该定理中出现了以下四个量：直径AB、弦长CD、弦心距OM和弓形的高AM。在用垂径定理解决圆中的计算问题时，其实大部分都是围绕这四个量展开的，而这四个量之间又有如下关系：弦心距与弓形的高的和等于半径，直径的二分之一是半径，若直径垂直于弦，则垂足是弦的中点，连接圆心和弦的一个端点，就会出现直角三角形，而在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三边，所以只要已知上述四个量中的任意两个量一定能求出其余的量，我把它归纳为圆中的“知二求一法”。此时需要把垂径定理和勾股定理有机结合起来计算弦长、半径、弦心距、弓形的高等问题，这就需要构造直角三角形（注意该直角三角形一定是由半径，弦心距和弦构成的），在教学中，一定要教会学生如何添加辅助线，（1）如果见到弦心距和弦，那么直接连接半径就构成直角三角形（如例1）；（2）如果就知道一条弦长的题目，就要把半径和弦心距都做出来，构造直角三角形（如例2）；（3）如果只知道弓形的高和弦长，就要把弓形的高延长至圆心，再连接半径构造直角三角形（如例3），下面我以几道例题来展示以上圆中的“知二求一法”：

例1：如图1，已知在⊙O中，弦CD的长为8厘米，圆心O到CD的距离为3厘米，求⊙O的半径。

思路分析：这是已知弦长和弦心距求圆的半径问题。

解：连结OC。过O作OM⊥CD，垂足为M，由垂径定理，得点M是CD的中点，

則CM=BM=0.5CD=4，在Rt⊿COM中，根据勾股定理有OC=5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。

这是已知弦长和弦心距求圆的半径问题。

例2：如图1所示，是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面高宽为1.6米，求这条管道中水的最大深度是多少？

思路分析：审题后首先要让学生明确该“管道中水的最大深度”的含义，其实转化为数学语言就是指“弓形的高”，那么这道题就是已知半径和弦长求弓形的高的问题。

解：如图，最大深度即为AM的长度，设圆心为O，作OM⊥CD于点M，交⊙O于点A，由垂径定理，得CM=0.5CD=0.8（米）。在Rt⊿COM中，由勾股定理，得OM= 12-0.82=0.6（米）。以AM=OA-OM=1-0.6=0.4（米）。

这是已知弦长和直径求弓形的高的问题。

掌握了以上例题的解题思路，大家对圆中的“知二求一法”应该有了更深刻的认识，可以说，掌握了该方法，你就可以游刃有余的运用垂径定理了。