右半平面调和映照的卷积

吴东东， 陈行堤

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

右半平面调和映照的卷积

吴东东， 陈行堤

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

调和映照； 卷积； 凸映照； 单叶性判别； 几何特征；Cohn法则

1 预备知识

两个调和映照的卷积映照的单叶性判别得到不少学者的研究[3-9].Dorff[5]证明了如下定理.

Dorff等[6]证明了如下的引理以及两个定理.

2 主要结果及证明

式(3)中:-A，-B，-C是三次多项式

的3个根(A，B，C可能相等).

下面引用Cohn法则[10]的引理B.

证明 假设-A，-B，-C是式(4)的3个根，则有

从而有|ABC|=|a/2|≤1/2<1,即-A，-B，-C这3个根中至少有一个根在单位圆盘D内.

当a∈(0，1]时，由t(z)可构造

所以有|-3a2/4-a/2+1|<|1-a2/4|.再应用t1(z)可构造

当a∈(0，1]时，有

(-2+2a+a2)2-(-4+a+2a2)2=-3(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)≤0.

另外，当a=0时，第二复伸张w(z)=-z2为定理B中θ=π，n=2的特殊情形.因此，a∈[0，1]时定理1成立.

对h+g=z/(1-z)进行求导，可得

进一步对h′，g′求积分可得

而且有

通过Mathematica软件，f和f0*f分别把单位圆盘映成的图像，如图1所示.

(a) f (b) f0*f 图1 单位圆盘映成的图像Fig.1 Mapping unit disk onto domains

因此，可得

类似的有

所以有

[1] LEWY H.On the nonvanishing of the Jacobian in certain one-to-one mappings[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1936,42(10):689-692.

[2] CLUNIE J G,SHEIL-SMALL T.Sheil-small， harmonic univalent functions[J].Annales Academi Scientiarum Fennic Series A I,1984,9(1):3-25.

[3] PONNUSAMY S,SINGH V.Convolution properties of some classes of analytic functions[J].Journal of Mathematical Sciences,1998,89(1):1008-1020.

[4] KUMAR R,DORFF M,GUPTA S,etal.Convolution properties of some harmonic mappings in the right half-plane[J].Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society,2016,39(1):439-455.

[5] DORFF M.Convolutions of planar harmonic convex mappings[J].Complex Variables Theory and Application An International Journal,2001,45(3):263-271.

[6] DORFF M,NOWAK M,WOLOSZKIEWICZ M.Convolutions of harmonic convex mappings[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2012,57(5):489-503.

[7] LI Liulan,PONNUSAMY S.Solution to an open problem on convolutions of harmonic mappings[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2013,58(12):1647-1653.

[8] JIANG Yueping,RASILA A,SUN Yong.A note on convexity of convolutions of harmonic mappings[J].Bulletin of the Korean Mathematical Society,2015,52(6):1925-1935.

[9] LI Liulan,PONNUSAMY S.Convolutions of slanted half-plane harmonic mappings[J].Analysis (Munich),2013,33(2):159-176.

[10] RAHMAN Q I,SCHMEISSER G.Analytic theory of polynomials, London mathematical society monographs new series[M].Oxford:Oxford University Press,2002:375-376.

(责任编辑： 钱筠 英文审校： 黄心中)

Convolution of Harmonic Mapping in Right-Half Plane

WU Dongdong， CHEN Xingdi

(School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China)

harmonic mapping； convolution； convex mapping； univalent criterion; geometric properties; Cohn′s rule

10.11830/ISSN.1000-5013.201703026

2016-09-05

陈行堤(1976-)，男，教授，博士，主要从事函数论的研究.E-mail:chxtt@hqu.edu.cn.

国家自然科学基金资助项目(11471128)； 福建省自然科学基金资助项目(2014J01013)； 华侨大学中青年教师科研提升计划项目(ZQN-YXl10); 华侨大学研究生科研创新能力培育计划项目(2016年度)

O174.55

A

1000-5013(2017)03-0430-05