函数零点与单调性在导数题目中的应用

山东省宁阳第二实验中学(271400) 山东省宁阳一中(271400)

王晓辉● 苏凡文●



函数零点与单调性在导数题目中的应用

山东省宁阳第二实验中学(271400) 山东省宁阳一中(271400)

王晓辉● 苏凡文●

在高中阶段，导数知识主要用来研究高次函数、超越函数的性质，难度较大，有较强的区分度，故在模拟题与高考题中一直肩负着压轴题的重任.本文利用一类与不等式有关的典型导数题目，从函数零点与函数单调性两个视角谈一下一类导数大题的解决办法.

视角一 函数零点

对于超越函数的零点一般要靠观察得到，但也有章可寻，如若函数中含对数式，真数为1时对应的自变量的值一般为函数的零点，而且零点多为0、1、-1、e等.

视角二 函数的单调性

导数研究的函数单调性无外乎三种，我们分别命名为类一次函数、类二次函数、类三次函数，即函数单调递增或单调递减、先增后减或先减后增、先增后减再增或先减后增再减.

类型一 零点与类一次函数

若函数定义域的端点为函数的唯一零点，则对应的函数一般为类一次函数，可利用一次函数的单调性解题.

题目1 (2016新课标Ⅱ文20)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

分析 (Ⅱ)中容易发现仅有1为函数f(x)的零点，即f(1)=0，又满足f(x)>0恒成立，所以大胆猜测函数f(x)为单调递增的类一次函数，以此为切入点尝试解题.

二、零点与类二次函数

此类型题目有两类.

1.若函数定义域内(不含端点)有唯一零点，而函数恒大于或恒小于(亦可恒大于等于或恒小于等于)零，则对应的函数一般为类二次函数，可利用二次函数的单调性来解题.

2.若函数定义域两端点值均为函数的零点，而函数恒大于等于或恒小于等于零，则对应的函数一般为类二次函数，可利用类二次函数的单调性来解题.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l下方.

x>1时，1-x2-lnx<0，所以g′(x)<0，g(x)在(1,+)上为减函数，则g(x)

综上可知，除切点(1,0)之外，曲线C在直线l下方.

题目3 (2016年新课标Ⅲ文21)设函数f(x)=lnx-x+1.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)证明当x∈(1,+)时，；

(Ⅲ)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx.

分析 在(Ⅲ)中，设函数g(x)=1+(c-1)x-cx，容易观察出区间(0,1)的端点值0、1为函数g(x)的两个零点，而需证g(x)>0，故大胆猜测函数g(x)为先增后减的类二次函数，以此为切入点尝试解题.

解析 设g(x)=1+(c-1)x-cx，g′(x)=c-1-cxlnc，g″(x)=-cx(lnc)2<0，所以g′(x)在(0,1)上为减函数.

又g′(0)=c-1-lnc，g′(1)=c-1-clnc.

由(Ⅱ)c>1时，c-1-lnc>0，c-1-clnc<0，即g′(0)>0，g′(1)<0.

所以存在唯一的x0∈(0,1)使得g′(x0)=0，

所以x∈(0,x0)时，g′(x)>0，g(x)在(0,x0]上为增函数，g(x)>g(0)=0；

x∈(x0,1)时，g′(x)<0，g(x)在(x0,1)上为减函数，g(x)>g(1)=0.

所以x∈(0,1)时，g(x)>0，即1+(c-1)x>cx.

三、零点与类三次函数

若函数定义域内有一个端点值为零点，另一个非端点值为零点，而函数恒大于等于或恒小于等于零，则对应的函数一般为类三次函数，可利用类三次函数的单调性来解题.

题目4 (2017年泰安市一轮模拟题20)已知函数f(x)=aex+bx在y轴上的截距为1，并且与x轴相切.

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)函数g(x)=x2-2x+1，求证：x≥0时，f(x)≥g(x).

分析 由(Ⅰ)可得a=1,b=-e，设h(x)=f(x)-g(x)=ex-ex-(x-1)2，x≥0时，容易观察出0、1为函数h(x)的零点，而需证h(x)≥0，故大胆猜测函数h(x)为先增后减再增的类三次函数，以此为切入点尝试解题.

解析 由(Ⅰ)可得a=1,b=-e，则f(x)=ex-ex.

设h(x)=f(x)-g(x)=ex-ex-(x-1)2(x≥0).

h′(x)=ex-e-2(x-1)，h″(x)=ex-2，

h″(x)<0时，0

h″(x)>0时，x>ln2，h′(x)为增函数.

因为h′(1)=0，所以h′(ln2)<0，

因为h′(0)=3-e>0，所以∃x0∈(0,ln2)，使得h′(x0)=0，

所以x∈(0,x0)时，h′(x)>0，h(x)在[0,x0]为增函数，h(x)≥h(0)=0；

x∈(x0,1)时，h′(x)<0，h(x)在(x0,1)上为减函数，h(x)>h(1)=0；

x∈(1,+)时，h′(x)>0，h(x)在[1,+)上为增函数，h(x)≥h(1)=0.

综上可知，当x≥0时，h(x)≥0，即f(x)≥g(x).

G632

B

1008-0333(2017)13-0016-02