整合消费、投资与退休决策的最优年金购买规划研究

王云多

(黑龙江大学 经济与工商管理学院, 黑龙江 哈尔滨 150080)



【经济·管理】

整合消费、投资与退休决策的最优年金购买规划研究

王云多

(黑龙江大学 经济与工商管理学院, 黑龙江 哈尔滨 150080)

随着人口老龄化日益加剧，为应对老年贫困，年金成为退休规划中应对长寿风险的有效工具。通过整合消费、投资与年金购买决定，构建一个多期财富演进模型，基于效用最大化原则，作出最优年金化决策。研究表明，在不存在风险资产时，最优年金化决策受个人寿命、财富与劳动收入状况影响。寿命越长，劳动收入越高，年金化年龄越晚，而财富水平越高，年金化年龄越早。在存在风险资产时，最优年金化年龄会延迟，效用会提高。此外，对待风险的态度也影响年金化决策，不仅显著影响最优年金购买年龄，而且影响当前投资和消费之间的分配比例。

年金； 长寿风险； 消费； 投资

随着我国人口出生率下降和预期寿命延长，人口老龄化问题愈加严重，对于工作者而言，为避免老年贫困，如何管理消费和投资决定变得更加重要和更富有挑战性。实际上，为了规避不同风险特别是长寿风险，个人可购买人寿保险或年金。作为一类担保未来支付的投资，年金变得越来越有吸引力。年金是一份特殊保险合同，在这一合同中，购买者答应支付保费(一系列支付或一次性支付)给保险公司，反过来，保险公司答应支付一定数量货币收益给购买者，收益可在购买者支付保费后立即开始支付或延期到未来某一时间支付。

年金与人寿保险最大的不同在于只要购买者活着，保险公司就需要支付年金给购买者，而人寿保险在购买者死亡时才支付。不同年金在支付时间和支付方式等方面也存在差异，例如，有即期年金与延期年金，固定年金与可变年金。即期年金在购买时即开始支付给购买者，而延期年金到缴费者退休时才支付。固定年金是一个预先规定定期支付的合同，经常考虑生活成本调整(例如，通货膨胀指数年金和权益指数年金)。相反，一个可变年金在不同时期支付数量也不同，这取决于投资组合业绩。因此，购买年金成为工作者应对老年贫困的一种有效工具。

一、相关问题研究述评

就年金购买决策而言，在公共财政领域，生存年金备受关注。Yaari通过考察含有不确定死亡时间的生命周期模型，指出生存年金在消费中起着重要作用，生存年金支配没有遗赠动机个人的所有资产，个人应将所有财富转化为精算公平的生存年金而非转化为股票或债券等常规资产Yaari, M.E., “Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer”， , Vol.32, No.2, 1965, pp.137-150.。但是，Yaari的研究忽略了其他不确定因素，由于不同资产风险收益在资产配置决定中的作用不同，个人将所有财富转化为生存年金这一假定不合时宜。Davidoff等拓展了Yaari的模型，弱化了那些由Yaari提出的以完全年金化为最优条件的假设，Davidoff等研究指出，在完全竞争市场上，完全年金化的充分条件是消费者没有遗赠动机以及年金收益率高于其他资产收益率Davidoff, T., Brown, J.R., Diamond, P.A.， “Annuities and Individual Welfare”， , Vol.95, No.3, 2005, pp.1573-1590.。可是，Davidoff等提出的这一假设也脱离实际。此外，Chen和Milevsky研究指出，当没有遗赠动机时，个人最优资产配置可在年金内部实现(即固定年金和可变年金之间配置)，当存在不同水平遗赠动机时，最优资产配置可在年金和其他资产之间配置实现Chen, P., Milevsky, M.A., “Merging Asset Allocation and Longevity Insurance: An Optimal Perspective on Payout Annuities”， , Vol.16, No.6, 2003, pp.52-62.。

从理论观点看，年金作为有效规避花光储蓄或活得太长风险的工具，在退休决策中确实起着重要作用。但是，已有研究证实，现实中年金仅被看作对少数人有意义，甚至很少有人将他们的流动资产转化为年金支付(Milevsky；翟永会和王晓芳；孙磊)Milevsky, M.A., “Optimal Asset Allocation Towards the End of the Life Cycle: To Annuitize or Not to Annuitize?”， , Vol.65, No.3, 1998, pp.401-426.，这种现象被称为年金之谜。对年金之谜的解释很多，例如，Mitchell等研究指出，由于保险公司索要的费用或收费较高，导致年金收益支付期望值仅为年金成本的84%，预期收益低于成本，导致人们不愿意购买年金Mitchell, O., James, P., Mark, W., Jeffrey, B., “New Evidence on the Moneys Worth of Individual Annuities”， , Vol.89， No.5， 1999, pp.1299-1318.；Milevsky和Young研究指出，年金合同下严格限定的可用投资选择和由保险公司索取的较高死亡风险费是理解年金之谜最重要的因素，在可变年金专设账户下的年平均费用为2.08%，而一般基金索取费用仅为1.38%Milevsky, M.A., Young, V.R., “The Timing of Annuitization: Investment Dominance and Mortality Risk”, , Vol.40, No.1, 2007, pp.135-144.。有关年金之谜还有一些其他的解释，如Modigliani和王云多研究指出，低年金化率可能是个人生命周期模型中内生劳动供给、闲暇决策的最优决策产品Modigliani, F., “Life Cycle, Individual Thrift, and the Wealth of Nations”， , Vol.76, No.3, 1986, pp.297-313.，Brown研究指出可以依靠家庭成员分担养老风险，防止老年贫困，结婚减少了购买年金获得的收益Brown, J.R., “Private Pensions, Mortality Risk, and the Decision to Annuitize”， ， Vol.82, No.1, 1999, pp.29-62.。

有关年金购买决策问题包括选择购买年金的最优时间，选择适当的年金类型或不同年金之间的最优配置，选择最优保费支付结构，决定年金化年龄和选择最优受益期等。近来，一些研究试图创建规范性框架以说明上述问题(Friedman和 WarshawskyFriedman, B., Warshawsky, M., “The Cost of Annuities: Implications for Saving Behavior and Bequests”， , Vol.105, No.1, 1990, pp.135-154.；Mitchell等Mitchell, O., James, P., Mark, W., Jeffrey, B., “New Evidence on the Moneys Worth of Individual Annuities”， , Vol.89, No.5, 1999, pp.1299-1318.；Chen和MilevskyChen, P., Milevsky, M.A., “Merging Asset Allocation and Longevity Insurance: An Optimal Perspective on Payout Annuities”， , Vol.16, No.6, 2003, pp.52-62.；Milevsky和YoungMilevsky, M.A., Young, V.R., “The Timing of Annuitization: Investment Dominance and Mortality Risk”， , Vol.40, No.1, 2007, pp.135-144.)。可是这些努力或者由于过分严格的假设条件(例如,有关一期模型、没有遗赠动机和年金精算定价机制的假设等)，或者由于没有完全考虑到其他相关的决策变量(例如，消费、其他可得的资产类型和个人偏好等)而存在不足。

本文通过消除几个严格限定的假设条件，介绍一些年金决策问题，旨在研究充分考虑消费、投资和年金购买决策之间相互关系基础上的退休决策。与已有采用单期模型的研究不同，本文采用多期模型，提出多期财富演进模型，在一个多期环境下研究年金化年龄、个人财富分配、预期寿命和风险规避程度之间的关系。

余下结构设定如下：第二部分详细论证和描述模型,第三部分为实证检验,第四部分为研究结论。

二、整合消费、投资与退休决策的最优年金规划模型分析

就年金购买规划中退休决定和消费、投资选择的关系而言，最优决策取决于即期消费、长期储蓄以及年金、风险资产和无风险资产的适当配置。在引入整合消费、投资与退休决策选择的最优年金规划模型之前，先定义一些有关年金的基本指标。

(一)年金定价与收益支付

(1)

(2)

(3)

由式(3)可知：

(4)

η

(

x

)=ln

φ

(

x

)-ln

φ

(

x

+1)

(5)

(6)

当个人购买年金时，他支付的费用进入他选择的基本投资基金中(例如一个共同基金)。收益率和累计的保费值取决于选择的基本投资组合的业绩。

T

期保费支付的累计值为：

(7)

(8)

在时间

T

，当个人选择收到第一份收益支付时，保险公司就将个人年金账户累积的现金转换为一系列收益支付。在第

t

期收益支付为：

(9)

由于股市震荡，股票等风险资产收益率波动较大，为了使用上述提出的精算公式计算年金价格，本文使用无风险资产收益描述财富演进模型，这有助于阐明年金决定问题。

(二)整合年金购买、消费与投资决策的最优财富演进模型

不考虑遗赠动机，财富由劳动收入和非劳动收入组成，对于大多数人而言，劳动收入是最主要的财富，也是消费水平高低的主要决定因素。劳动收入会如何显著地影响个人消费和投资组合选择，进而影响非劳动收入？为了阐释收入流，调整Vceira提出的收入模型，剔除影响收入的随机因素，令

I

代表

t

期收入。就个人财富总量而言，假定个人在消费、年金、有风险资产和无风险资产之间分配他的总财富。使用

W

代表

t

期财富水平，

I

为

t

期劳动收入，

C

为

t

期消费水平。

P

代表

t

期购买年金的费用支出，

B

代表一旦收益给付开始，得到的年金收益。

R

代表

t

期无风险资产收益，

φ

代表

t

期风险资产收益。每期风险资产收益随概率变化而上升或下降，而无风险资产收益在每期维持不变。本文定义风险资产收益上升由

φ

代表,下降由

φ

代表。如果

X

和1-

X

分别代表投资于风险和无风险资产总的可用财富比例，则包含消费、收入、年金、保费和每期收益的财富演进模型如下：

为了保证退休后的长期福利，个人需要在当期消费和投资之间作出选择。为了保持财富增长和避免潜在的长寿风险，个人也需要决定是否以及何时购买年金，根据财富状况，合理分配不同资产。最优问题目标函数如下：

(10)

式(10)中，

T

代表个人规划周期(预期余命)，

λ

代表时间贴现因子。本文研究应对长寿的最优消费投资选择，根据年龄、年金、消费和年金化年龄等决策变量，通过将财富作为最优问题的一个决策变量，每一财富值可通过年龄、年金、消费和年金化年龄得到。在同样方式下，本文考虑年金支付，可变年金支付减少了复杂的计算约束。一旦知道年金和年金化年龄，年金支付可得。

三、实证检验

由于最优年金决策与个人规划周期(年金化后的预期寿命)紧密相关，因此制定最优年金方案需要考虑个人规划周期，这凸显了规划周期的重要性。首先，年金收益高低通常取决于规划周期长短；其次，退休时间越长，通货膨胀会使退休后生活成本显著增加；最后，规划周期也是判断年金为良性或恶性的重要决定因素。

(一)参数设定

无风险资产是指未来收益没有不确定性的资产，实际收益率将永远等于期望收益率。严格来讲，绝对无风险资产并不存在，但为了研究的方便，通常把中央政府发行的债券作为无风险资产的代表。在美国，通常将政府90天国库券看作无风险资产，在我国，因为短期国库券不仅面临因利率上升而损失的利率风险，也未考虑长期通货膨胀的影响，一般认为长期国债是无风险资产的最佳代表。因此，本文将一年期国债作为无风险资产代表，参考我国近年来一年期国债收益，将无风险资产收益(

R

)设定为1.05。风险资产通常指商业银行及非银行金融机构资产结构中未来收益不确定且可能招致损失的那部分高风险资产，如股票和衍生金融产品，本文将股票作为风险资产，参考我国股市状况，将高风险发生概率(

p

)设定为0.5。如果风险上升，风险资产收益(

φ

)设定为1.25;如果风险下降，风险资产收益(

φ

)设定为0.90。就年金而言，目前我国企业年金缴费比例通常占企业工资总额的4%。考虑到企业年金为补充养老保险，不具有强制性，很多企业不为职工缴纳企业年金。假定有1/2的企业缴费，那么，本文将企业年金占工资总额比重设定为2%，即保险费率(

S

)设定为0.02。此外，参照我国2005—2015年间企业年金平均收益情况，将年金收益(

R

)设定为1.06。参照Milevsky和Young等研究Milevsky, M.A., Young, V.R.， “The Timing of Annuitization: Investment Dominance and Mortality Risk”， , Vol.40, No.1, 2007, pp.135-144.，将时间偏好(

δ

)参数设定为1.027，相对风险规避程度(

γ

)设定为0.5，初始财富水平(

W

)和收入水平(

I

)等指标的设定依据规划周期(

T

)不同而有所不同。

图1 不同风险规避程度下消费的效用比较

注：

T

=50,

T

=30,

R

=1.05,

R

=1.06,

S

=0.02,

W

=10,

I

=3,

γ

=0.5,

δ

=1.027。

由图1可见，在消费水平低于1.5时，无论是高风险规避还是低风险规避的人，效用水平均为负值，但是高风险规避的人效用水平更低，随着消费水平超过1.5,高风险规避和低风险规避的人效用水平均为正值，且高风险规避和低风险规避的人效用水平不断增加，尤其是低风险规避的人，效用水平增长速度远远高于高风险规避的人，二者效用水平差距不断拉大，在消费水平为10时，低风险规避的人效用水平为4，高风险规避的人效用水平为1，二者差距达到3。为减少问题数量，首先考虑没有风险资产投资的情况，再考虑含有风险资产投资的情况。

(二)不含风险资产的模拟结果

首先，模拟分析不同年金化年龄下消费和最终财富的效用，本文预测50岁的人未来30年的最优退休决策，即假定个人寿命为80岁这一情况。图2描述了不同年金化年龄消费和最终财富的总效用，如图2所示。随着年金化年龄提高，效用水平经历了先增加后减少的变化过程，在59岁年金化时效用水平最高，为27.3，此后，随着年金化年龄增大，效用水平逐渐下降，在66岁年金化时，效用水平降至26.3，此后随着年金化年龄不断增大，效用水平不再变化，这表明66岁之前年金为良性，如果个人年龄大于66岁，结果显示不再有财富年金化，即个人将所有财富放到了无风险资产。66岁之前，通过年金化财富，个人总能得到更多效用，个人最优年金化年龄是59岁。

图2 不同年金化年龄下消费和最终财富的总效用

图3描绘了最优年金化年龄下的财富值，由图3可见，在59岁之前，随着年龄增加，个人财富值不断增加，在59岁时，财富值最大，为27.2。因此，59岁是个人最优年金化年龄,此时可发现个人选择年金化所有财富，在一次性年金化后个人剩余财富为零。但从60岁开始，个人获取的可变年金不断增加，财富值随着年龄增长也在不断增加，在69岁时，年金化财富为22，此后年金化财富不断减少，在没有借贷约束及没有考虑货币流动性偏好的情况下，年金化所有财富是可行的。如果个人以活期存款形式保证更多财富具有可流动性，将失去从缺乏流动性资产投资获利的机会。个人确切知道他在每一期有一定数量可得的财富，在适当的时间将他剩余的财富转换为年金。

本文研究最优年金化年龄保费支付流，发现仅在59岁时发生一次性总支付。鉴于年金净收益(

R

-

M

=1.04)低于无风险资产收益(1.05)，这一设定较为合理。个人最初选择投资于无风险资产，然后，在最优年金化年龄一次性支付总保费以年金化。

图4比较了最优年金决策、自年金决策(根本不买年金)和底限(满足基本消费需求)的消费水平差异。在最优年金决策下，个人以在积累期(50～59岁)较低消费为代价，换取分配期(60～79岁)得到更高消费，从一生消费中得到更多效用，在此最优决策下，个人也取得一个更高的最后财富水平。

最优年金决策可能受个人寿命、财富和收入状况影响。为了检验最优年金化年龄的相对改变，本文将这些模型的参数进行适当调整。图5描绘了不同规划周期(寿命变动)下的最优年金化年龄。

图3 最优年金化年龄下的财富水平

图5 不同规划周期下的最优年金化年龄

由图5可知，如果个人寿命至少为78岁(即规划周期为28年)，年金由于无利而不会被购买。个人寿命超过78岁，最优年金化年龄随寿命增加而增加，但是如果寿命为85岁或更长，最优年金化年龄不再变化。

随着预期寿命延长，年金保持良性扩张，延迟了最优年金化年龄，延迟的最优年金化年龄也影响到财富水平，如果在年金中投入更多钱，个人能从年金中得到更多好处。本文分析框架表明，个人应60岁退休，退休后无劳动收入，因此财富水平在60岁后迅速减少，这解释了为什么最优年金化年龄不超过60岁。

图6-1和图6-2分别描绘了不同初始财富水平和不同收入水平下的最优年金化年龄。由图6-1可观察到最优年金化年龄最初随初始财富增加而下降，在初始财富为2时，最优年金化年龄为59岁，初始财富为10时，最优年金化年龄为58岁，初始财富为26时，最优年金化年龄为57岁，当初始财富为42时，最优年金化年龄为56岁，此后，最优年金化年龄不随财富增加而变化。

由图6-2可观察到最优年金化年龄最初随初始劳动收入增加而上升，在劳动收入为3时，最优年金化年龄为58岁，在劳动收入为9时，最优年金化年龄为59岁，此后，最优年金化年龄不再随劳动收入增加而变化。由上面的分析可知，初始财富或初始收入水平的提高将仅改变财富，不改变差距。如果增加初始财富水平，为了避免耗尽财富，应该更早年金化。可是初始收入水平的增加(作为一个随后的结果)可能帮助增加财富，在后半生提供更高的财富水平。结果，去年金化更受偏好。这解释了为什么初始财富增加加快了年金化，而初始收入增加延误了年金化。

图6-1 不同初始财富的最优年金化年龄 图6-2 不同收入水平的最优年金化年龄

(三)含有风险资产的模拟结果

为了在投资选择中包括风险资产并与不含有风险资产的情况作比较，仍假定个人预期寿命为80岁，在上面不含有风险资产情况下的初始设定问题上，55岁之前最优年金化从未发生。因此，为了控制问题数量，假定目前个人年龄为54岁，模拟一个26年规划周期。鉴于初始年龄

T

现为54岁,为保持一致性，将初始财富增加到15，在这里，为了比较研究含有风险资产和不含有风险资产这两种情况，假定其他参数值不变。为了研究不同年金化年龄下风险资产不同对消费者效用的影响。首先，通过强制投资于风险资产(

x

)解决这一问题。

x

=0代表没有投资风险资产，

x

=1代表所有财富都投资于风险资产。图7-1和图7-2分别描述了没有风险资产(

x

=0)和有风险资产(0<

x

<1)两种情况下不同年金化年龄下消费者效用的变化。在没风险资产的情况下(见图7-1)，最优年金化年龄介于58岁到59岁之间，如果个人在64岁到69岁之间或更晚年龄年金化，则年金变得无利可图，这些结果和从图2中看到的结果基本一致。当存在风险资产时(见图7-2)，最优年金化年龄延迟，由图7-2可知，当

x

在0和1之间任意取值时，最优年金化年龄增加到60岁到61岁之间，年金变得无利可图的年龄保持在64岁到69岁之间。此外，与没有风险资产情况相比，当引入风险资产时，效用量增加了。

图7-1 没有风险资产时消费和最终财富的效用 图7-2 有风险资产时消费和最终财富的效用

(四)深入研究

为了进一步比较分析最优年金和自年金(不买年金)决策下58岁到59岁的人财富如何在年金、风险资产、无风险资产和消费之间配置。表1和表2分别列出高风险和低风险情况下最优年金和自年金决策下财富分配的8个可能结果。

表1 不同风险规避程度下最优年金决策财富分配

注：

T

=54,

T

=26,

R

=1.05,

R

=1.06,

φ

=0.90,

φ

=1.25,

p

=0.5,

S

=0.02,

W

=15,

I

=3,

δ

=1.027。

由表1模拟分析的8个结果可知，无论在低风险规避还是高风险规避情况下，在最优年金决策中，在低财富水平，个人选择部分或全部财富进行年金化。在最低财富水平，财富在消费和年金之间分配。随着财富水平上升，投资于年金的财富数量(或比例)下降，而投资于消费和风险资产的数量增加。尤其在低风险规避情况下，一旦个人取得相对高水平的财富，则根本没有财富用于年金化。当投资中不包含年金时，风险资产变得更有效率，将取代年金。

表2 不同风险规避程度下自年金决策财富分配

注：

T

=54,

T

=26,

R

=1.05,

φ

=0.90,

φ

=1.25,

p

=0.5,

S

=0.02,

W

=15,

I

=3,

δ

=1.027。

由表1和表2的模拟结果可知，就低风险规避情况而言，自年金决策几乎得到了与最优年金决策同样的消费和风险资产分配结果。唯一的不同在于自年金决策没有考虑年金，将财富除用于消费外，剩余的用于购买风险资产和无风险资产；而最优年金决策将财富除用于消费外，剩余的用于购买年金和风险资产。就年龄为58～59岁(最优年金化年龄)高风险规避下的财富分配而言，在最优年金化策略下，年金分配显著增加，在自年金化策略下，无风险资产分配显著增加，这证实了高风险规避的含义。就财富在每期消费和风险资产之间分配而言，需要注意，就自年金决策而言，投资于风险资产的比例从一个初始较高值下降为零(低风险规避情况下)或较低值(高风险规避情况下)，然而在最优年金决策下，风险资产从零上升到较高值。

四、结 语

基于近年来年金计划主题激发的研究兴趣，本文在退休计划中整合年金购买与消费、投资选择。基于精算原理，构建了一个年金定价和收益支付模型，引入和标准化一个收入模型，创建一个假定总财富在消费、年金、风险资产和无风险资产之间分配的多期财富演进模型，阐释了含有消费和财富的效用最大化目标函数。研究结论如下：(1)当不存在风险资产时，最优年金化年龄受个人寿命、个人财富与劳动收入状况影响。寿命越长，劳动收入越高，最优年金化年龄越晚，而财富水平越高，最优年金化年龄越早。(2)当存在风险资产时，最优年金化年龄会延迟，而且最优年金化年龄的效用水平也高于不存在风险资产时最优年金化年龄的效用水平。(3)退休者对待风险的态度影响年金化决策，不仅显著影响最优年金化年龄，而且影响当前投资和消费之间的分配比例。年金的存在使个人更有进取心，无论是低风险规避者还是高风险规避者都会投资更多风险资产。低风险规避者会分配更多财富于风险资产，相比于低风险规避，高风险规避者偏好更稳定的消费水平，个人可利用年金从消费取得更高效用。可是，不同风险规避程度的人利用年金的方式不同。较低风险规避者每期使用年金取得尽可能多的消费，而较高风险规避者利用年金获得更稳定的消费。

[责任编辑 王治国 责任校对 王景周]

2016-10-07

王云多(1976—)，男，内蒙古呼伦贝尔人，黑龙江大学经济与工商管理学院教授，博士，主要从事人口与劳动经济研究。

国家社会科学基金项目《生育率下降与预期寿命延长双重约束下养老保险制度可持续性研究》(批准号：16BRKG16); 教育部人文社会科学青年基金项目《人口老龄化和城市化双重约束下养老保险体系可持续性研究》(批准号：15YJC840037)。

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A

1000-5072(2017)05-0070-09