积分学中各种积分之间的关系研究与例解

杨元启

摘 要：本文讨论了高等数学中几种类型的积分之间的联系与转化技巧， 并用适当例子说明这些转化技巧的具体应用。这对各类积分思想的理解和计算都有很重要的意义。

关键词：定积分；重积分；累次积分；线积分；面积分

高等数学中的积分学包含的积分类型很多， 积分计算也经常走入死胡同，无法求解。如果能深刻地领会不同积分之间的内在关系，掌握不同类型积分互相转化的技巧，一般都能顺利解答。各种积分之间的关系及转化技巧，在国内众多文献中能找到一些零星的讨论，但都不够细致深入。

本文着重对定积分、重积分、线积分、面积分这几个常见常用的积分，用实例来详细讨论积分转换技巧的应用。

一、定积分与重积分

重积分的计算问题除了用定义外，几乎都是化成两个或多个定积分（累次积分）来计算的。对一些较复杂的定积分，也可能无法求出其原函数，必须借助重积分的思想才能求解。以下通过几个例子来说明这些积分的转化技巧。

例1 计算?D dxdy，其中D 是直线x=π，y=x，y=0所围成的闭区域。

解：如果将二重积分化成如下累次積分：

?D dxdy=dydx

由被积函数的特点知这样的积分无法计算，为此交换积分次序：

?D dxdy=dxdy

=sinxdx=[-cosx]π

0

=2

例2 计算dx

解：用求原函数的方法几乎没法解答，注意到=xydy，为此，可以将定积分化成累次积分再来讨论。

原式=dxxydy，

交换积分次序得：

原式=dyxydx=dxxydy

=dx=ln（）

例3 设f（x），g（x）在[a，b]上连续，满足?x∈[a，b），f（t）dt?g（t）dt，以及f（x）dx=g（x）dx，证明：xf（x）dx?xg（x）dx

证：这样的题一般也需要借助累次积分以及换序技巧。

由题意，?x∈[a，b），f（t）dt-g（t）dt?0，

（f（t）-g（t））dt作为[a，b）上的非……