幂级数π-Armendariz环

王 尧，李 敏，任艳丽

(1.南京信息工程大学数学与统计学院，江苏 南京 210044；2.南京晓庄学院信息工程学院，江苏 南京 211171)

幂级数π-Armendariz环

王 尧1，李 敏1，任艳丽2

(1.南京信息工程大学数学与统计学院，江苏 南京 210044；2.南京晓庄学院信息工程学院，江苏 南京 211171)

引入幂级数π-Armendariz环的概念，研究了幂级数π-Armendariz环的扩张，证明了如果环R是具有幂零有界指数的NI环，且为α-容许环，则R[x；α]是幂级数π-Armendariz环.同时讨论了幂级数环的幂零p.p.性和弱zip性.

幂级数环；幂级数π-Armendariz环；NI环；弱zip环

1 预备知识

本文假定所研究的环R都是有单位元1的结合环.以R[x]，R[[x]]分别表示R上的多项式环和R上的幂级数环；以nil(R)，P(R)，Nil*(R)，L(R)分别表示环R中所有幂零元的集合、素根、上诣零根和Levitzki根；以Vn(R)表示Dn(R)中矩阵满足ast=a(s+1)a(t+1)(s=1，…，n-2，t=2，…，n-1)的矩阵子环.一个环R称为2-素环，如果P(R)=nil(R).环R是2-素环，当且仅当R/P(R)是约化环.

一个环R称为弱2-素环，如果L(R)=nil(R).一个环R称为NI环，如果Nil*(R)=nil(R).这几个环之间的关系是：2-素环⟹弱2-素环⟹NI环⟺诣零幂级数Armendariz.

2 幂级数π-Armendariz环

显然幂级数π-Armendariz环是幂级数弱Armendariz环.

引理2.1[2]如果R是一个诣零幂级数Armendariz环，则nil(R[[x]])⊆nil(R)[[x]].

命题2.1 (1) 诣零幂级数Armendariz环是幂级数π-Armendariz环；(2) 幂级数π-Armendariz环的子环是幂级数π-Armendariz环.

(2) 由幂级数π-Armendariz环定义知结论成立.

命题2.2 如果R是一个具有幂零有界指数的环，那么对任意的n≥2，Tn(R)是幂级数π-Armendariz环，当且仅当环R是幂级数π-Armendariz环.

证明 因为R是Tn(R)的子环，所以根据命题2.1(2)知必要性成立.下证充分性.容易验证Φ：Tn(R)[[x]]→Tn(R[[x]])是典范环同构.

由F(x)G(x)∈nil(Tn(R)[[x]])可得Φ(F(x))Φ(G(x))∈nil(Tn(R)[[x]]).注意到

推论2.1 设R是一个具有幂零有界指数的幂级数π-Armendariz环，则对n≥2，下列结论成立：

(1)Dn(R)是幂级数π-Armendariz环；

(2)Vn(R)是幂级数π-Armendariz环；

(3)R(x)/(xn)是幂级数π-Armendariz环.

证明Dn(R)是Tn(R)的子环，Vn(R)是Dn(R)的子环，且R(x)/(xn)≅Vn(R)环，由……