一个带有复合Euler函数方程的正整数解

王 洋，张四保

(1.四川交通职业技术学院公共教学部，四川 成都 611130；2.喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844008)

一个带有复合Euler函数方程的正整数解

王 洋1，张四保2

(1.四川交通职业技术学院公共教学部，四川 成都 611130；2.喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844008)

设φ(n)为Euler函数，探讨了带有复合欧拉函数的方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2正整数解的问题，利用初等方法给出了其所有的正整数解.

Euler函数；正整数解；初等方法

1 预备知识

设n为正整数，φ(n)为Euler函数[1]，φ(n)在正整数n上的值为不超过n且与n互素的正整数个数.Euler函数φ(n)是数论中的一个重要函数，它与著名的Smarandache函数有着莫大的关系，众多学者对与之相关的方程进行了大量研究.[2-7]

对于带有复合欧拉函数方程正整数解的研究可参见文献[8-11].本文讨论带有复合欧拉函数的方程

φ(φ(n-φ(φ(n))))=2

(1)

的正整数解问题，并通过初等方法给出其所有的正整数解.

引理1[12]方程φ(x)=2P的正整数解x为：当P=1时，x=3，4，6；当P=2时，x=5，8，10，12；当P=3时，x=7，9，14，18.

引理2[13]若n为大于等于2的整数，则φ(n)

2 主要结论及证明

定理1 方程(1)的所有正整数解为n=6，7，9，10，11，12，13，14，16，17，22.

证明 由引理1可知φ(x)=2的所有正整数解为x=3，4，6，从而方程(1)为φ(n-φ(φ(n)))=3，4，6.再由引理2可知，φ(n-φ(φ(n)))=4，6.

由引理1可知：当φ(n-φ(φ(n)))=4时，n-φ(φ(n))=5，8，10，12；当φ(n-φ(φ(n)))=6时，n-φ(φ(n))=7，9，14，18.由此可将n-φ(φ(n))的值分为n-φ(φ(n))=5，7，9与n-φ(φ(n))=8，10，12，14，18这两种情形.

情形1n-φ(φ(n))=5，7，9.

即

情形1.1β1≠0，βi=0，i=2，3，…，t.

情形1.1.1β1=1.

当αj=0(j=1，2，…，k)时，q1-1=2γ，从而 2γ-φ(2γ)=4，6，8.因而2γ-1=4，6，8，γ=3，4.此时，n=9，17是方程(1)的二个正整数解.

当αj(j=1，2，…，k)中至少有1个满足αj≠0时，有

(2)

此时，α1=1，αj=0，j=2，3，…，k；p1=3；q1-1=6.从而n=7是方程(1)的正整数解.

有

由于2p1p2…pk-(p1-1)(p2-1)…(pk-1)>(p1-1)(p2-1)…(pk-1)≥2，因而方程(1)无正整数解.

情形1.1.2β1≥2.

情形1.2β1≠0，β2≠0，βi=0，i=3，4，…，t.

情形1.2.1β1=1，β2=1.

此时，q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=5，7，9.注意到

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>8，

因而只讨论q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=9的情形.

事实上，当q1=3，q2=5时，q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=9不成立；当q1=3，q2>5时，

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>9；

当q1≥5，q2≥7时，

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>9.

故此时方程(1)无正整数解.

情形1.2.2β1，β2中至少有一个大于等于2.

类似于情形1.2.1……