正态分布在计算反常积分中的典型应用

李拴柱+王华

摘 要：本文对于一类特殊的无穷反常积分形如 给出了比较新颖的求解方法，合理的利用概率论中正态分布的知识，使这类问

题迎刃而解，并且解答过程简洁明了，充分体现了反常积分求解方法的多用性.

关键词：反常积分；计算方法；正态分布；期望.

反常积分的应用非常广泛，反常积分包括两类：无穷积分和瑕积分.反常积分的定义是计算反常积分的基础，定积分的计算方法一般也可以用到反常积分的计算中，但对于一些特殊问题，例如形如

这个就计算量就会很大，在这我们结合概率论中的正态分布和期望的概念给出了一个简单明了的求解方法.

设X是随机变量，其概率密度函数f（x），期望记为E（X）， Y=f（X）是X的随机变量函数，则我们有下列结论

定义 .

性质1

性质 2

性质3

定义2随机变量 ，则 .

由上述概率论知识我们可以得到如下公式：

定理

为任意实数。

证明因为 ，所以

. （1-1）

设连续性随机变量 ，则它的概率密度为

所以（1-1）式可以写为：

（1-2）

设连续性随机变量Y 为X的函数，且

，由定义1及性质1-3得

因为 所以 ，又由

，得

所以（1-2）式变为 .

即

. （1-3）

以上我们利用连续性随机变量的正态分布特点，将一内反常积分的计算转化为计算一个随机变量函数的数学期望，经过严格推导得到了这内反常积分的计算公式（1-3）， 使得计算该类反常积分的难题得以解决.

例如 这个反常积分的计算我们一般是构造二

元函数，利用二重积分去计算的，而我们现在套用这个公式的话相当于

，从而带入公式（1-3）得到结果就是 .从而简化了计算过程.

参考文献：

[1]華东师范大学数学系，数学分析，北京：高等教育出版社， 2001

[2]裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，北京：高等教育出版社， 2006

[3]同济大学数学系，高等数学，北京：高等教育出版社，2014

[4]李贤平，概率论基础，北京：高等教育出版社，2012

[5]盛骤等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2010