控制草原鼠患的评价模型

官金兰，陈芷棋，聂国康，林晓佳

（广东农工商职业技术学院基础部，广东广州510507）

控制草原鼠患的评价模型

官金兰，陈芷棋，聂国康，林晓佳

（广东农工商职业技术学院基础部，广东广州510507）

为了解决鼠患问题，使用灭鼠药、引入天敌、人工种植牧草等三种方法进行模型分析。模型一：由于使用灭鼠药，导致老鼠数量增长会受到阻滞。在logistic模型上使用时间与灭鼠药用量的变量，用Matlab求解；模型二：将老鼠称为食饵，引入的天敌称为捕食者，二者共同组成P-P系统，可建立Volterra模型分析出老鼠和天敌数量的平衡点；模型三：引入人工种植牧草的阻滞系数，分析牧草生长阻滞系数和时间的关系，通过Matlab求解。

logistic模型；微分方程；Volterra食饵-捕食者模型

在内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏（如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等），从而造成草原鼠患问题非常严重，并由此引发了严重的生态问题［1］。由于老鼠有挖掘的习性，在所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重，有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。然而人们至今尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。

建立老鼠自然状态下的生长模型，若老鼠的数量达到一定值时不加以控制，将会对生态环境造成严重的危害，因此笔者分析提出以下三种方法并建立模型，同时对其短期和长期的效果进行评估分析，在资金投入最少的情况下达到控制草原鼠患，恢复生态平衡的效果。

为了控制草原的鼠患，人们采用了以下几种方法：

（1）灭鼠药。研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金投入。

（2）引入老鼠的天敌。通过人工喂养和驯化老鼠的天敌来控制鼠患，这种方法在短期内有效，但存在两个问题：第一，费用比较高；第二，引入数量难以确定。

（3）人工种植牧草。在草原植被密集的地方，老鼠不易于打洞且难于及时躲避天敌的追捕，但据知几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。

1 控制草原鼠患模型的假设与建立

1.1 模型假设

（1）老鼠的出生率和死亡率不变；

（2）草原的面积为10 000万公顷；

（3）短期内老鼠的体内不产生抗体；

（4）草原上老鼠的天敌数量可忽略不计；

（5）草原自然环境相对稳定；

（6）人工种植牧草成活率为100%。

1.2 符号说明

模型中所用到的参数及变量的单位均为国际单位，符号说明见表1。

表1 符号说明

1.3 模型的建立

1.3.1 模型一的建立

在自然生长状况下，草原生态系统严重失调，老鼠天敌的数量可忽略不计，此时老鼠的数量以几何级数增长，当增长到一定程度时，由于环境因素及资源的影响，老鼠的数量达到了环境容纳量的最大值。这种情况下老鼠的生长模型基本符合logistic模型［2］。设r为老鼠的自然增长率，N为草原老鼠的环境容纳量，建立如下模型

取r=0.5，N=100 000，用Matlab求解，结果如图1所示。

图1 使用灭鼠药前老鼠数量变化曲线

使用灭鼠药时，设d为灭鼠药对老鼠的致死率，当t=t0时，x（t0）=N，得

在灭鼠药的作用下，老鼠数量的变化函数为

化简此方程组得

用Matlab求解，结果如图2所示。

图2 使用灭鼠药后老鼠数量变化曲线

由图1、2可知，在未使用灭鼠药之前老鼠的数量呈上升趋势，使用灭鼠药后在一定时间内老鼠的数量逐渐减少。

设M为杀死每只老鼠所需灭鼠药的药量，p1为灭鼠药的单价，投入的资金为

1.3.2 模型二的建立

设老鼠的数量为x（t），天敌的数量为y（t），a为天敌掠取老鼠的能力，b为老鼠供养天敌的能力，建立如下模型［3］

当引入天敌时，老鼠的增长率下降，老鼠使其天敌的死亡率减少，减少量与y成正比，则

其天敌独立生存的死亡率为d，即

老鼠使天敌的死亡率减少，减少量与x成正比，即

由方程（1）、（2）知方程的平衡点为

从方程（1）、（2）消去dt后得到

这时可分离变量方程，写作

由上述方程得（1）、（2）的相轨线为

将相轨线的极值点记为x0，y0，极大值记为fm，gm。

因为

当c＞fmgm时无相轨线；当c≤fmgm时相轨线是封闭曲线，由此可以确定天敌投入数量，以免过多或者过少。

设n为引入天敌的数量，p2为天敌的单价，所以投入资金Q2=np2。

1.3.3 模型三的建立

在logistic模型的基础上引入牧草影响的阻滞系数m。由于牧草自身的生长状况，m会随时间变化而变化，建立如下模型［4］

设买入牧草种子为α斤，通过Matlab进行拟合，可得图3。

图3 人工种植后老鼠数量随时间变化趋势图

由图3可知，在牧草生长时期老鼠的数量会缓慢上升，当牧草越长越茂盛时，牧草对老鼠的抑制作用越来越强。当牧草退化时，老鼠的数量逐渐上升。投入的资金为Q3=α·p3。

2 模型的相关分析

模型一使用灭鼠药在短期内能对老鼠的数量起到一定的遏制作用，但长时间后老鼠的体内产生了抗体，对灭鼠药会产生抵抗作用。

模型二引入老鼠的天敌能控制老鼠的增长速度，但是需要花费大量的时间和金钱，从长期效果来看是一种不错的选择。

模型三种植牧草在刚开始时由于牧草比较小，不茂密，很容易被老鼠吃掉，在短时期内很容易遭到破坏。

3 相关建议的提出

考虑到三种方法的各自优势及长短期效应，笔者建议在种草最佳时机靠前一段时间投放鼠药（有一个最佳投放量），初见药效随之种草，在药效衰减到不能间接危害到老鼠天敌的时候引入天敌来灭鼠。

第1步，使用老鼠药的成本较其他两种方法而言低得多，事先使用老鼠药可使总成本降低；第2步，待老鼠药灭鼠见成效后应种植牧草，鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存；第3步，引入老鼠的天敌，此时残余的老鼠药不会对天敌造成间接的伤害。适当引入天敌数量可使天敌与牧草共同发挥作用，控制老鼠天敌的数量，从而达到新的生态平衡，限制草原老鼠在一个不能形成鼠患的范围之内。

4 模型的评价

上述模型在一定时期内可以反映灭鼠方法的成效，通过模型的建立，本文提出了切实可行的建议。但是，考虑的因素比实际的相对少一些，没有对模型进行定量的分析。

［1］刘得元.草原灭鼠的现状及对策［J］.家畜生态,2003（5）:79-80.

［2］王兵团.数学建模基础［M］.北京:清华大学出版社,2004.

［3］姜启源.数学建模［M］.3版.北京:高等教育出版社,2003.

［4］孙军娜.控制草原鼠患模型［J］.安徽农业科学,2012,40（12）:7147-7150.

【责任编辑：王桂珍 foshanwgzh@163.com】

Evaluation model of rodent control in prairie

GUAN Jin-lan,CHEN Zhi-qi,NIE Guo-kang,LIN Xiao-jia
（Department of Basic Course,Guangdong AIB Polytechnic College,Guangzhou 510507,China）

In order to solve the problem of rats,this article makes use of three methods to analyze model,the methods are as follow:usingrodenticide,leading into natural enemies,planting grass artificially.The first model: the rats will be influenced by the law of block growth because of rodenticide-the law of logistic.In the logistic model,we use the variables of time and dosage of rodenticide to solve by Matlab.The second model:the rats-prey and the natural enemies-predator make up P-P system,which can be established Volterra model to find out the equilibrium point of rats and natural enemies.The third model:for the sake of gaining the relationship of pasture growth’s coefficient and time,we introduce the retardation coefficient of artificial pasture and solve byMATLAB

logistic model;differential equation;Volterra prey-predator model

S443

A

1008-0171（2017）03-0023-05

2016-09-21

广东省大学生攀登计划培育项目（pdjh2016b0653）

官金兰（1982-），女，广东韶关人，广东农工商职业技术学院副教授，博士。