一个优美不等式的新证与推广

董义宏

【摘要】本文采用两种新的方法对一个优美不等式进行了证明，并从维数上进行推广.

【关键词】一个优美不等式；新证；推广

安振平老师在《中学数学教学参考》2010年第1期[1]上给出了26个优美不等式，第17个不等式是这样的：设a，b，c是正实数，a+b+c=3，证明a2b+c+b2a+c+c2a+b≥a2+b2+c22.文[2]用切比雪夫不等式给出了证明并对指数和维数做了推广，经过思考，现给出两种用中学常用的不等式知识就能推出的证法，并从另一角度对这个等式做出推广.

证明（一） a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a4a2（b+c）+b4b2（a+c）+c4c2（a+b）

≥（a2+b2+c2）2a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b），

而a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）

=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a3+b3+c3）

=（a+b+c）（a2+b2+c2）-2（a3+b3+c3）2

=（a+b+c）（a2+b2+c2）-

（a3+b3）+（b3+c3）+（c3+a3）2

≤（a+b+c）（a2+b2+c2）-

（a2b+ab2）+（b2c+bc2）+（c2a+ca2）2

=（a+b+c）（a2+b2+c2）-

a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）2，

因此，a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）

≤（a+b+c）（a2+b2+c2）-

a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）2.

于是a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）≤2（a2+b2+c2），

a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a4a2（b+c）+b4b2（a+c）+c4c2（a+b）

≥（a2+b2+c2）2a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）

≥（a2+b2+c2）22（a2+b2+c2）=a2+b2+c22.

证法（二） a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a23-a+b23-b+c23-c

≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a3+b3+c3）

≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a+b+c）（a3+b3+c3）3

≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a2+b2+c2）23

=（a2+b2+c2）3-a2+b2+c23

≥a2+b2+c23-（a+b+c）29

=a2+b2+c22.

現给出这一命题的推广：

设a1，a2，…，an都是正实数，且a1+a2+…+an=n，则

a21n-a1+a22n-a2+…+a2nn-an≥a21+a22+…+a2nn-1.

证明 a21n-a1+a22n-a2+…+a2nn-an

=a41a21（n-a1）+a42a22（n-a2）+…+a4na2n（n-an）

≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a31+a32+…+a3n）

=（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a1+a2+…+an）（a31+a32+…+a3n）n

≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a21+a22+…+a2n）2n

≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a21+a22+…+a2n）（a1+a2+…+an）2n2

=a21+a22+…+a2nn-1.

【参考文献】

[1]安振平.二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考，2010（1）：136.

[2]刘艳，魏春强.第17个优美不等式的证明与推广[J].大观周刊，2012（48）：267.