初中数学最值问题举例解析

翟永强

初中数学有关最值问题，中考题中最为常见，这类问题的题型广泛，因而，解决问题的方法也要因题而异.下面结合近年来全国各地的中考试题，列举一些题型和解题方法，以供师生参考.

一、利用对称性求最值

根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值.若两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值.

例1 如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为.

解析 连接DE，交AC于点P，连接BD.

∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值.

∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2.

在Rt△CDE中，DE=CD2+CE2=42+22=25.

二、利用一次函数求最值

对于一次函数y=kx+b，k值的正负影响函数的增减性，k<0时，图像从左向右下降，函数的值y随x的增大而减小，k>0，图像从左向右上升，y随x的增大而增大.在求最值問题时，要注意x的取值范围.

例2 某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3 000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80 000元.

（1）求购买1块电子白板和1台笔记本电脑各需多少元？

（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2 700 000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？

（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？

解析 （1）设购买1块电子白板需要x元，1台……