高斯整数环其商环元素个数

贾丽媛

【摘要】设Z表示整数环，i表示虚单位（i=-1） Z[i]为所有形如a+bi，（a，b∈Z）的复数组成的集合，称为高斯整数环.高斯整数环中的元素称为高斯整数.在王芳贵的《关于高斯整数环的商环的元素个数的注记》中已经用代数方法证明出|Z[i]/（m+ni）|=m2+n2.本文将用几何方法给出这一结论的证明.注意，对于m=0（或n=0）的情况，证明方法同可证.所以，本文只给出m≠0，n≠0的证明.以下我们用|A|表示A种元素的个数.

【关键词】高斯整数环；商环；理想

一、绪 论

（一）记号：Z[i]={a+bi|a，b∈Z，i2=-1}，Z[i]对普通加法和乘法构成一个环，称为高斯整数环.

（二）定义：（1）若环R的非空子集I满足条件：① I是一个子加群；② 对任意a∈I，r∈R，元素ar，ra都在I中，此时，我们称I是R的一个理想.

（2）设R是一个环，I是R的一个理想，商群RI关于乘法a·b=ab所生成的环，叫作R关于I的商环，仍用记号RI表示.

（3）设Z表示整数环，i表示虚单位（i=-1），Z[i]为所有形如a+bi，（a，b∈Z）的复数组成的集合，称为高斯整数环.高斯整数环中的元素称为高斯整數.

二、本 论

（一）高斯整数环其商环元素个数

命题1 如果A为高斯整数点，设A=a+bi，且a≠0，b≠0.以OA为边作四边形OABC.又设区域G～为正方形OABC内部的点及OA，OC边上的点（但不包括A点和C点）中的全体高斯整数点，则G～内恰有a2+b2个高斯整数点.

证明 作正方形OABC的外接正方形EFGH，易知，正方形EFGH中所含的高斯整数点为（a+b）2=（a2+b2+2ab）个.长方形HCQB及PAGB中所含有的高斯整数点均为ab个，其中包括A，C点.三角形BPA与三角形CEO内所含的高斯整数点相同.三角形AOF与三角形BCQ内所含的高斯整数点相同.所以正方形EFGH-长方形HCQB-长方形PAGB中所含的高斯整数点的个数=G～中所含的高斯整数点的个数.故|G～|=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2得证……