解析“哥德巴赫猜想”方法综述

申学勤 王若仲（王洪） 彭晓 谭谟玉 徐武方 王波 王江龄　刘鹏

【摘要】对于“哥德巴赫猜想”，通过我们研究团队共同讨论，最终得出了解决“哥德巴赫猜想”的一种思路.其中主要是利用筛法公式Y=m（1-d1÷p1）（1-d2÷p2）（1-d3÷p3）…（1-dt-1÷pt-1）（1-dt÷pt），其中di=1或2（i=1，2，3，…，t），m为任意给定的一个比较大的正整数（m≥3）；p1，p2，p3，…，pt均为不大于2m的全体奇素数（pi

【关键词】哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；顺轴；逆轴

德国数学家哥德巴赫于1742年提出“哥德巴赫猜想”，即任一不小于6的偶数均可表示为两个奇素数之和.“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法，比较有名的大致有下面四种：（1）筛法；（2）圆法；（3）密率法；（4）三角求和法.其中，筛法是求不超过自然数N（N>1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3…qj，筛法的基本出发点，即加权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率法（概率法）是函数估值法.“哥德巴赫猜想”至今没有彻底解决.

思路综述：

一、首先定义奇合数，定义顺筛，定义顺轴，定义逆轴

奇合数就是既是奇数又是合数的正整数.例如，15，21，35，49等等这样的一些奇数称为奇合数.

因为对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于M的全体奇素数（pi

顺筛就是二千多年前的埃拉托斯特尼筛法.埃拉托斯特尼筛法可以用来寻找一定范围内的素数（比如，m这个数，m这个数不是太大）.操作的程序是先将第一个数2留下，将它的倍数全部画掉；再将剩余数中最小的3留下，将它的倍数全部画掉；继续将剩余数中最小的5留下，将它的倍数全部画掉，……，如此直到没有可画的数为止.

顺轴就是一条带有箭头符号且方向向右的数轴.逆轴就是一条带有箭头符号且方向向左的数轴.

二、对于任一比较大的偶数2m，利用顺轴和逆轴构建一个筛选数学模型

因为偶数2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=…=（2m-5）+5=（2m-3）+3=（2m-1）+1，可以把偶数2m看成是由一条顺轴与一条逆轴平行且呈轴对称的一个平面图形的数学模型.

比如，32=1+31=3+29=5+27=7+25=9+23=11+21=13+19=15+17=17+15=19+13=21+11=23+9=25+7=27+5=29+3=31+1.

三、对于任一比较大的偶数2m，利用偶数2m对应的筛选数学模型，怎样进行筛选

现在利用偶数32来说明这种数学模型的筛选思路：

对于偶数32，从“奇数+奇数”的情形来分析，把偶数32当作16对.

对于偶数32=1+31=3+29=5+27=7+25=9+23=11+21=13+19=15+17=17+15=19+3=31+1.

第一步，在顺轴上筛除3的奇数倍（3除外），因为筛除的情形针对的是成双成对，所以在逆轴上对应的奇数也得跟着筛除，可得32=1+31=3+29=5+27=7+25=11+21=13+19=17+15=19+13=23+9=25+7=29+3=31+1；

第二步，在逆軸上筛除3的奇数倍（3除外），同理在顺轴上对应的奇数也得跟着筛除，可得32=1+31=3+29=7+25=13+19=19+13=25+7=29+3=31+1；

第三步，在顺轴上筛除5的奇数倍（5除外），同理在逆轴上对应的奇数也得跟着筛除，可得32=1+31=3+29=7+25=13+19=19+13=29+3=31+1；

第四步，在逆轴上筛除5的奇数倍（5除外），同理在顺轴上对应的奇数也得跟着筛除，可得32=1+31=3+29=13+19=19+13=29+3=31+1；

最后，筛除1和31，可得32=3+29=13+19=19+13=29+3.

为什么在顺轴上不再筛除7的奇数倍（7除外），11的奇数倍（11除外），13的奇数倍（13除外），17的奇数倍（17除外），19的奇数倍（19除外），23的奇数倍（23除外），29的奇数倍（29除外），31的奇数倍（31除外）呢？在逆轴上不再筛除7的奇数倍（7除外），11的奇数倍（11除外），13的奇数倍（13除外），17的奇数倍（17除外），19的奇数倍（19除外），23的奇数倍（23除外），29的奇数倍（29除外），31的奇数倍（31除外）呢？因为32<7，所以利用奇素数3和奇素数5就能够把32以内“奇合数+奇合数=32”和“奇合数+奇素数=32”的情形全部筛除了.

四、对于任一比较大的偶数2m，怎样利用偶数2m对应的筛选数学模型，进行一般化的筛选.也就是归纳筛选的规律

对于正实数x，符号〔x〕记为不大于x的最大正整数.

“哥德巴赫猜想”针对的是不小于6的全体偶数，问题是很大很大的偶数仍然可以表示为“奇素数+奇素数”吗？在数学理论上通常是利用极限的情形来解决无穷的问题.所以，为了解决无穷大的情形，必须从极限这一根本点着手.在无穷多偶数中，只需设定某一相当大的偶数满足筛出的最大化（也就是筛出的极限情形），只要证明了极限的情形成立，其他情形显然成立.

为了解决无穷的问题，假定有一个非常大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于2m的全体奇素数（pi

设集合A={1，3，5，7，9，…，（2m-3），（2m-1）}，也就是偶数2m对应集合A，又设集合A1={p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}，…，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}；其中奇数（2m1-1）p1为该集合中的表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2为该集合中的表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m3-1）p3为该集合中的表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，…，奇数（2mt-1-1）pt-1为该集合中的表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1）pt为该集合中的表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数.

根据偶数2m对应的筛选数学模型，可得极限筛法公式

【参考文献】

[1]戎士奎.十章数论[M].贵阳：贵州教育出版社，1994.

[2]王文才，施桂芬.数学小辞典[M].北京：科学技术文献出版社，1983.

[3]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：人民教育出版社，1983.

[4]刘玉琏，付沛仁.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1984.