块α-对角占优矩阵的充要条件

高会双,韩贵春

(内蒙古民族大学 数学学院, 内蒙古 通辽 028000)



块α-对角占优矩阵的充要条件

高会双,韩贵春

(内蒙古民族大学 数学学院, 内蒙古 通辽 028000)

介绍了块α-对角占优矩阵的概念，给出了两个块α-对角占优矩阵的充要条件,进而得到了块H-矩阵新的判定准则，并用数值例子说明了这些结论的有效性.

块对角占优矩阵；块α-对角占优矩阵；块H-矩阵

1 预备知识

为了适应大规模矩阵计算的需要，矩阵的分块技术越来越引起大家的关注.20世纪60年代，Feingold和Varga引入了块对角占优矩阵的概念[1].块对角矩阵在求解线性方程组等方面起着重要作用.近年来，块对角优矩阵在许多文献中进行了深入讨论[2-9].本文给出了两个判定块-对角占优矩阵的充要条件，进而得到了块H-矩阵新的判定准则，拓展了块H-矩阵的判定条件，最后用数值例子说明了这些结论的有效性.

设A=(aij)∈Cn×n为n阶复方阵，分块如下：

(1)

M1={i∈M|Pi(A)<‖Aii-1‖-1

M3={i∈M|‖Aii-1‖-1≥Ri(A)>Pi(A)};M4={i∈M|‖Aii-1‖-1≥Pi(A)>Ri(A)};

M5={i∈M|‖Aii-1‖-1>Pi(A)=Ri(A)};M6={i∈M|‖Aii-1‖-1≤Ri(A),‖Aii-1‖-1≤Pi(A)}.

显然有M=M1∪M2∪M3∪M4∪M5∪M6.

若对任意i∈M都有‖Aii-1‖-1≥(>)Pi(A),则称A为块(严格)对角占优矩阵, 记为A∈BD0(A∈BD);若存在正对角阵X(矩阵X的分块形式与矩阵A的分块形式相同), 使得AX∈BD,则称A为块H矩阵(或块广义严格对角占优矩阵), 记为A∈BH.

定义1 设A=(aij)∈Cn×n, 分块如式(1), 若存在α∈[0，1], 使得:

(‖Aii-1‖)-1≥(>)αPi(A)+(1-α)Ri(A),∀i∈M,

(2)

则称A为块(严格)α1-对角占优矩阵, 记为A∈BD1(α0)(A∈BD1(α)).

定义2 设A=(αij)∈Cn×n, 分块如式(1), 若存在α∈[0,1], 使得:

‖Aii-1‖-1≥(>)Pi(A)αRi(A)1-α,∀i∈M,

(3)

则称A为块(严格)α2-对角占优矩阵, 记为A∈BD2(α0)(A∈BD2(α)).

引理1[7]设A=(αij)∈Cn×n,分块如式(1), 若存在α∈[0,1], 使得:

‖Aii-1‖-1≥(>)Pi(A)αRi(A)1-α,∀i∈M,则A为块H-矩阵.

2 主要结果

首先给出了两个判定块α1-对角占优矩阵的充要条件，进而得到块H-矩阵新的判定准则.

定理1 设A=(αij)∈Cn×n, 分块如式(1), 则A∈BD1(α)的充分必要条件是M6=φ, 且对任意的i∈M1,……