NQD随机样本经验分布函数列的收敛性

梁 琼

(广州工商学院，广州 510850)



NQD随机样本经验分布函数列的收敛性

梁 琼

(广州工商学院，广州 510850)

证明了同分布NQD序列下经验分布函数的依概率收敛和几乎处处收敛的性质，得到了与iid完全相同的结果.

两两NQD列;经验分布函数;依概率收敛;几乎处处收敛

1 定义和引理

两两NQD(Negatively Quadrant Dependent)列的概念是由著名的统计学家Lehmann[1]提出来的.它是有浓厚的统计背景且十分广泛的随机变量列，文献[2]中讨论了两两 NQD 列的Marcinkiewicz型弱大数律及Jamison型加权和的强稳定性，文献[3]中推广了Matula[4]的结果得到了更一般的两两NQD列的Kolmogorov型强大数律.文献[5-9]研究了两两NQD列的极限定理、收敛性及完全收敛性.经验分布函数是数理统计中样本估计总体常用到的函数，在独立同分布样本下具有良好的收敛性，本文利用以上成果讨论了经验分布函数在NQD样本下的收敛性，得到了两个与独立样本下相同的收敛定理.

定义1[1]称随机变量X和Y是NQD的,若对任意实数x和y都有：

P(X

称随机变量列{Xn,n≥1}是两两NQD列.若对任何i≠j,i,j=1,2,…,Xi与Xj都是NQD的.和独立样本类似给出在NQD样本下的经验分布函数列的定义.

则称Fn(x)为X的经验分布函数，称随机变量列{Fn(x),n≥1}为经验分布函数列.

引理1[4]设1≤p<2,αp≥1或p=2,αp≥1，{Xn,n≥1}为同分布两两NQD列且满足条件：

特别地,若1≤p<2,αp=1，则：

(1)

引理2[4]设{Xn,n≥1}是两两NQD列，对任意n≥1,var(Xn)<∞,{an,n≥1}是非减的且趋于无穷的正实数序列，若满足：

2 定理和证明

证明 (i)设Yn=I(Xn≤x),n=1,2,…,则{Yn,n≥1}也是两两NQD列.事实上：由Yn的定义可知，其服从两点分布，且当n=1,2,…，时有：

P(Yn=0)=P(Xn>x)=1-F(x),P(Yn=1)=P(Xn≤x)=F(x)

(2)

由定义1知，需要证明∀(x,y)∈R2，∀i,j=1,2,…,下面不等式成立：

P(Yi

(3)

不难看出如果事件Yi

现分块进行讨论：

当y≤0时，Yi

当y>1时，Yi

当0

当01时，Yj

当0

(0,0)→Yi

由式(2)得：E|Y1|=0×(1-F(x))+1×F(x)=F(x)<+∞

知{Yn,n≥1}满足引理1在p=α=1时的条件，于是由引理1有：

证明 设Yn=I(Xn≤x)，n=1,2,…,由定理1的证明(i……