基于承压-无压水公式的区间涌水量预测

董贵明，常大海 ，田 娟，高付明

(1. 中国矿业大学资源与地球科学学院，江苏 徐州 221116；2. 江苏师范大学地理测绘与城乡规划学院，江苏 徐州 221116)

基于承压-无压水公式的区间涌水量预测

董贵明1，常大海1，田 娟2，高付明1

(1. 中国矿业大学资源与地球科学学院，江苏 徐州 221116；2. 江苏师范大学地理测绘与城乡规划学院，江苏 徐州 221116)

针对矿井涌水量计算过程中存在不确定性的问题，从区间不确定性角度出发，基于非概率集合理论，推导出了采用经验公式计算影响半径和根据观测资料给出影响半径这两种情况下承压-无压水涌水量区间解析表达式，定量刻画了参数的区间不确定性下涌水量的区间响应，实现了从确定型计算公式到区间不确定性型计算公式的转变。通过对比蒙特卡洛法得到的实际区间上下限和推导出公式计算的上下限，分别给出了两个区间涌水量预测公式计算结果相对误差的绝对值控制在5%和10%以内时，相应变量的允许变化率，分析结果表明：公式一计算最大(最小)涌水量的相对误差为5%和10%时，变量的允许变化率分别为0.18(0.08)和0.28(0.12)；公式二计算最大(最小)涌水量的相对误差为5%和10%时，变量的允许变化率分别为0.08(0.05)和0.12(0.08)；在相同误差要求下，两个公式计算最大值时的允许变化率高于最小值时的允许变化率，这对计算矿井涌水量的上限有利。这为矿井涌水量计算提供了一条新的途径。

承压-无压水井公式；涌水量；区间不确定性；大井法

基于承压-无压水井公式的大井法是矿井涌水量计算的重要方法之一[1～2]。然而，在计算过程中由于观测水平、水文地质条件复杂性和实际工作投入有限等原因而产生的不确定性，最终影响计算结果的可靠性。快速有效地分析这些不确定性对计算结果的影响，对提高计算结果的可靠性和工程应用具有重要意义。而围绕如何认识和描述水文地质计算中的不确定性，以提高计算可靠性等问题，已经成为地下水科学最前沿的科学问题之一[3～6]。在水文地质不确定性的研究中，主要有随机数学、模糊数学、灰色数学等方法，其中，随机数学是目前最主要的方法[7～8]。在随机数学方法中，如何准确地获取概率密度函数，是有效进行不确定性分析的关键，实际条件下，由于资料的限制，往往难以获得有效的概率密度函数。

由于已知的地质、水文地质条件的有限性，在实际矿井涌水量计算中，计算结果一般误差较大[9]。使用确定性的公式计算也不便于分析各种条件的变化对计算结果的影响。本文将从区间不确定性的角度出发，基于非概率集合理论凸模型方法，推导出区间涌水量计算公式，实现从确定型计算公式到区间型计算公式的转变，将涌水量计算中的不确定性因素通过区间不确定性进行定量刻画，并将这些不确定性引入到计算公式中，实现确定性计算到不确定计算的转变。区间不确定性与随机不确定性不同，不需要知道不确定变量的概率密度函数，基于较少的变量信息(不确定变量的上下界限)可以得到参数的响应区间，该方法对数据的要求一般更符合对研究区实际资料的掌握程度，也将为矿井涌水量的计算提供一条新的途径。

1 非概率集合理论凸模型方法

(1)

(2)

假设在统计平均值附近变化的有界不确定参数的不确定量或未确知量δ在式(3)有界凸集合内变化，即：

(3)

式中：Ω——正定矩阵；θ——正实数。

(4)

(5)

数学优化理论已经证实，式(4)和式(5)的极值将在式(3)表示的椭球区域的边界上达到。设拉格朗日函数为:

(6)

式中：μ——拉格朗日乘子。

取极值的必要条件为：

(7)

整理得：

(8)

(9)

将式(9)带入式(4)、式(5)可以得到[13]：

(10)

(11)

2 区间涌水量的预测公式

Dupuit的承压-无压水公式是地下水动力学中的基本公式之一，也是计算矿井涌水量时最常采用的解析公式。在计算涌水量时其表达式常为：

(12)

式中：H0——承压含水层初始水位/m；Q——涌水量/(m3·d-1)M——含水层厚度/m；K——渗透系数/(m·d-1)；rw——井的半径/m；R——井巷系统边界到外源水的距离/m。

R常采用的经验计算公式为：

(13)

式中：R——影响半径。

式(12)要求初始水力坡度为0，含水层水平、等厚和均质，并且要求以抽水井为中心有一个圆形的定水头边界，以形成稳定流，即圆岛模型。在很多矿区，实际上没有一个圆形或者其他形状的定水头边界。另外，矿区一般还存在一些断层、陷落柱，并且这些断层和陷落柱在采动过程中还可能会“活化”，存在“上三带”和“下三带”。这些渗透性较强部位的存在，增强了含水层的非均匀性。因此，在开采过程中，不能形成严格的稳定流。但实际资料表明，当矿井开采一段时期以后，地下水位的变化一般会变得很缓慢，此时，认为达到近似稳定流。实际上，在矿井以外的应用中，一般都是近似稳定流。式(12)在计算矿井涌水量时，是在近似稳定流的条件下进行。

在式(12)中，Q与M、H0、K和rw整体为非线性关系。根据隐函数求导法则：

(14)

(15)

获得流量对变量K、M、H0和rw的导数。

(16)

(17)

(18)

(19)

有的矿井可以根据观测资料或者相邻矿井的影响半径直接确定R，不是采用式(13)计算。此时，将有5个变量。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

将式(16)～(19)和式(20)～(24)代入式(10)和式(11)，可以得到R0在两种处理情况下区间涌水量的预测公式(表1)。

表1 区间涌水量的预测公式Table 1 Interval formula of water inflow

备注:Qo为相应的变量取区间的中心数时对应的结果。αH0=ΔH0/H0；αM=ΔM/M0；αk=Δk/k0；αrw=Δrw/rw0；αR0=ΔR/R；αHo、αM、αk、αrw、αR，为相应变量的变化率。‘±’中的‘+’对应的是涌水量变化区间的上限(最大值)，‘-’ 对应的是涌水量变化区间的下限(最小值)。

表1中考虑了H0、M、K、R和rw五个变量。其中，各变量的变化率和中心值(平均值)共同表示了变量的变化区间。使用表1中的公式，给出变量的变化率和中心值，不需要编程，可以方便地计算出涌水量的区间响应。

3 区间涌水量预测公式的有效性

式(10)和式(11)是基于一阶泰勒级数和优化理论得到的，在此基础上得到的表1中公式的变化率一定不能是无限大的。通过蒙特卡洛方法获得响应区间的实际上下限，以对表1中公式的有效性和变化率的界限进行分析，计算结果见表2。

表2中的 “最大值相对误差的绝对值小于a时的变量允许变化率”中的“最大值相对误差的绝对值”为根据表1中的公式计算涌水量的上限值Q+与蒙特卡洛计算的实际上限值Q之间的相对误差。即：

表2 不同误差条件下区间涌水量预测公式中变量的允许变化率Table 2 Allowed change rates of the interval formula of water inflow with different errors

注：表中变量单位：Q0/(m3·d-1)；K0/(m·d-1)；M0/m、rw0/m、H0/m)

(25)

表2在计算过程中，变化率从0开始，以0.01的间距递增，一直到0.5结束。公式二计算时，对于每一组数据，将式(13)计算出的影响半径值乘以4作为R，涌水量采用式(12)计算，其他参数不变。表2给出了两个区间涌水量预测公式在误差水平0.05和0.1时，五组测试数据对应变量的最大变化率，比如，对于测试数据1，在采用公式一计算涌水量的时候，如果要求计算最大值的相对误差的绝对值不超过0.05，那么式(12)中四个参数的变化率均不能超过0.18；如果要求计算最大值的相对误差的绝对值不超过0.1，那么式(12)中四个参数的变化率均不能超过0.28。

从表2中可以看出，在相同的误差要求下，公式一和公式二计算的上限对应变量的允许变化率大于下限时的变化率。即当变量的变化率相对较大时，计算得到的最大涌水量的可靠性要高于最小涌水量。当需获取变量在更大变化区间内的涌水量上下限，同时满足一定的精度要求，可以将大区间分割成小区间，然后在各个小区间上使用表1中的公式即可。

4 应用实例分析

某矿井3煤顶板砂岩含水层由3煤顶板至2煤底板之间的砂岩组成，根据钻孔揭露资料，砂岩厚度22.5～45.6 m，平均32.5 m，富水性较弱，透水性差，含水层基本水平，属于开采3煤的直接充水含水层，分布断距为10 m左右的断层数条。根据单孔抽水试验资料，水位标高+37.3 m，渗透系数为0.01 m/d。相邻矿井钻孔的水位标高+38.9 m。由不同勘探孔资料看出，3煤层顶板砂岩富水性不均一。根据该区域内其他矿井的开采资料，由3煤层顶板砂岩含水层作为充水水源的矿井开采一段时间以后可以形成基本稳定的涌水量。3煤开采水平为-1 000 m，首采区为不规则多边形，等效半径为691 m。采用公式一分析当各个变量存在区间不确定性时首采区涌水量的变化区间。

考虑数据资料存在不确定性以及受开采及相邻矿井的影响，令αHo=0.05，αM=αk=αrw=0.2，即水头(m)的变化区间为[985.4,1 089.2]，含水层厚度(m)变化区间为[26,39]，渗透系数(m/d)的变化区间为[0.008,0.012]，等效半径(m)的变化区间为[552.8,829.2]。经计算，涌水量(m3/d)的变化区间为[1 036.8,3 519.2]。采用数据的平均值计算的涌水量Q0为2 278.3 m3/d。可见，对于本实例，尽管变量的最大变化率仅有20%，但涌水量的最大值和最小值也将明显的不同于平均值下的涌水量值。考虑变量在一定区间下的涌水量响应区间是有意义的。

为了进一步分析公式一计算结果的相对误差随着变量变化率的变化过程，绘制了图1和图2。

图1 涌水量最大值相对误差图Fig.1 Relative error diagrams of the maximum water inflow

图2 涌水量最小值相对误差图Fig.2 Relative error diagrams of the minimum water inflow

从图1和图2可以看出，公式一计算值的相对误差随着变化率是非线性变化的。图1表明，变化率在0.3时，最大值的相对误差绝对值基本控制在10%以内。图2表明，变化率在0.15时，最小值的相对误差绝对值基本控制在10%以内。这与表2的分析结果基本一致。实例计算表明，使用公式一计算当变量在一定的范围内变化时涌水量的相应上下限是合适的。

5 结论

(1)从区间不确定性角度出发，基于非概率集合理论，推导出了采用经验公式计算影响半径和根据观测资料计算影响半径的承压-无压水的区间涌水量解析预测公式，定量刻画了参数的区间不确定性下涌水量的区间响应，实现了从确定型计算公式到区间不确定性型计算公式的转变。

(2)公式一计算最大(最小)涌水量的相对误差为5%和10%时，变量的允许变化率分别为0.18(0.08)和0.28(0.12)；公式二计算最大(最小)涌水量的相对误差为5%和10%时，变量的允许变化率分别为0.08(0.05)和0.12(0.08)；在相同误差要求下，两个公式计算最大值时的允许变化率比计算最小值时高，这对计算矿井涌水量的上限有利。

(3)理论推导和应用实例表明，区间涌水量计算公式可以方便可靠地计算出涌水量的区间响应。区间不确定性解析公式为涌水量的计算提供了一条新的途径。

[1] 吕汉江.棋盘井煤矿水文地质特征分析及涌水量计算[J].煤矿安全,2014,45(7):155-158. [LU H J. Analysis of hydrogeological characters and water inflow calculation in Qipanjing coal mine[J]. Coal Mine Safety, 2014,45(7):155-158. (in Chinese)]

[2] 马青山,骆祖江.解析法和数值法在矿井涌水量预测中的比较[J].矿业安全与环保,2015,42(4):63-71.[MA Q S, LUO Z J. Comparison of analytical method and numerical method in mine water inflow prediction[J].Mining Safety & Environmental Protection,2015,42(4):63-71. (in Chinese)]

[3] 田娟,董贵明,王今殊.水文地质参数概率密度函数的Legendre正交多项式逼近研究[J].水文地质工程地质,2014,41(5):26-30. [TIAN J, DONG G M,WANG J S. Approximation of probability density function of hydrogeological parameters based on Legendre orthogonal polynomial[J]. Hydrogeology & Engineering Geology,2014,41(5):26-30. (in Chinese)]

[4] 吴吉春,陆乐.地下水模拟不确定性分析[J].南京大学学报(自然科学),2011,47(3):227-234. [WU J C, LU L.Uncertainty analysis for groundwater modeling[J].Journal of Nanjing University(Natural Sciences),2011,47(3):227-234.(in Chinese)]

[5] Chuen F N,Shu Guangli, Chien J L,etal. Efficient conceptual framework to quantify flow uncertainty in large-scale, highly nonstationary groundwater systems [J].Journal of Hydrology, 2010, 381(3/4):297-307.

[6] Zhang Kejiang, Li Hua. Fuzzy-stochastic characterization of site uncertainty and variability in groundwater flow and contaminant transport through a heterogeneous aquifer[J].Journal of Contaminant Hydrology, 2009,106(15):73-82.

[7] Pamela K, Quentin G R. Optimal groundwater extraction under uncertainty: Resilience versus economic payoffs[J].Journal of Hydrology,2011,406 (3/4): 215-224.

[8] 刘佩贵,束龙仓,尚熳廷,等.地下水可开采量可靠性分析的模糊-随机方法[J].水利学报,2008,39(9): 1141-1145.[LIU P G, SHU L C, SHANG M T,etal. Fuzzy-stochastic method for reliability analysis of groundwater allowable withdrawal[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2008,39(9): 1141-1145. (in Chinese)]

[9] 汪伟罗,周全,王益伟,等.基于混沌理论的矿井涌水量预测研究[J]. 中国安全科学学报, 2013,23(4):51-56.[WANG W L, ZHOU Q, WANG Y W,etal. Research into mine water inflow forecast based on chaotic theory[J]. China Safety Science Journal, 2013,23(4):51-56. (in Chinese)]

[10] 邱志平. 非概率集合理论凸方法及其应用[M]. 北京:国防工业出版社,2005.[QIU Z P. Convex method based on non-robabilistic set-theory and its application [M].Beijing: National Defence Industry Press,2005. (in Chinese)]

责任编辑：张若琳

Interval confined-unconfined water inflow forecasting formula

DONG Guiming1, CHANG Dahai1, TIAN Juan2, GAO Fuming1

(1.TheSchoolofResourceandEarthScience,ChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou,Jiangsu221116,China; 2.SchoolofGeography,GeomaticsandPlanning,JiangsuNormalUniversity,Xuzhou,Jiangsu221116,China)

For the issues that the uncertainty exists in calculating the mine inflow, this study starts from the perspective of interval uncertainty. Based on the non-probabilistic set method, the interval analytic expression of confined-unconfined water inflow is deduced for different conditions by using empirical formula to calculate the influence radius and according to the observed data to give the influence radius. The interval response of water inflow under the interval uncertainty of parameters is quantitatively depicted, and the shift of calculating formula from the deterministic type to the type of interval uncertainty is realized. By comparing the upper and lower limits of the real interval values which are obtained by MC with the upper and lower limits of the interval value which are calculated with the deduced formula, the allowed change rate of the corresponding variables is given respectively when the absolute value of relative error of the results is controlled within 5% and 10% which are calculated with the two interval water inflow formula. The results show that the allowed change rate of the variable is 0.18 (0.08) and 0.28 (0.12), respectively, when the relative error of the maximum (minimum) water inflow which are calculated with the first formula is 5% and 10%, and the allowed change rate of the variables is 0.08 (0.05) and 0.12 (0.08), respectively, within the same condition which are calculated by the second formula. Under the identical error requirements, when the allowed change rates of the maximum values calculated with the two formula are higher than that of the minimum values, it is beneficial to calculate the upper limit of the mine inflow. This paper provided a new way for the uncertainty research on the mine inflow calculation.

formula of confined-unconfined well; water inflow; interval uncertainty; large-well method

2016-01-15;

2016-06-10

国家自然科学基金项目(41202179)；江苏省高校优势学科建设工程资助项目

董贵明(1979-)，男，副教授，主要从事地下水数值模拟和水资源评价等教学和科研工作。E-mail:guiming14432@126.com

田娟(1980-)，女，讲师，主要从事环境科学教学和科研工作。E-mail:tianjuan980106@126.com

10.16030/j.cnki.issn.1000-3665.2017.03.01

P641.5

A

1000-3665(2017)03-0001-05