股价和执行价受双分数布朗运动驱动期权定价

赵 巍

(淮海工学院 商学院，江苏 连云港222005)



股价和执行价受双分数布朗运动驱动期权定价

赵 巍

(淮海工学院 商学院，江苏 连云港222005)

双分数布朗运动能满足分形特征，同时在一定条件下能够满足半鞅，已替代分数布朗运动成为数理金融研究中更为合适的工具.在双分数布朗运动假定下，基于拟鞅定价思路给出了双分数Black-Scholes定价模型的解析解；在此基础上，着重讨论了股价和执行价共同受双分数布朗运动驱动的期权定价模型，使分数布朗运动和标准布朗运动驱动的定价模型都成为其特例.本研究方法对求解各类扩展的布朗运动族驱动的定价模型都具有借鉴价值.

双分数布朗运动；拟条件数学期望；拟鞅定价；双分数Black-Scholes模型

金融衍生资产定价是现代金融理论的核心内容，Black和Scholes[1]假定股票价格服从几何布朗运动，得出了著名的Black-Scholes公式.然而实证研究表明，金融资产价格并非随机游走，而是存在着长期相关性[2].Mandelbrot和Van Ness[3]提出的分数布朗运动能够有效描述金融资产的长期相关特征，但分数布朗运动不是半鞅，无法用随机积分进行分析，且导致市场不完备[4-6].Hu和Oksendal[7]通过定义分数伊藤积分，构建了无套利且完备的分数Black-Scholes市场.但在该积分定义下的自融资策略不符合经济学理论，影响了模型的使用效果，双分数布朗运动是对分数布朗运动的扩展和修正，既能够刻画金融资产分形特征，且在一定限制条件下满足半鞅，且经济含义明确，可以用随机分析理论求解期权定价模型[8].随后，董莹莹，薛红[9-10]基于保险精算方法，研究双分数布朗运动环境下的重置期权定价公式.

虽然Hu和Oksendal定义的积分经济意义欠缺，但其对于采用随机积分方法求解期权定价的思想值得推广.本文将这一思路用于双分数布朗移动驱动的期权定价问题研究，通过构建分数金融市场和拟鞅定价方法，在分数风险中性测度下以简单积分变换得到了双分数Black-Scholes公式，进而将结论应用于股价和执行价共同受双分数布朗运动驱动的期权定价模型，最后对双分数期权价格和标准期权价格进行了比较.

1 知识准备

1.1 双分数布朗运动

随机过程Xt称为分数It过程，如果满足：

其中:μx,t为Xt的均值(时变)，σx,t为Xt的方差(时变).

引理1[8]考虑分数差分方程

则有

其中:μ，σ为常数.

引理2[8]考虑分数差分方程

则有

考虑另一风险中性测度R，若

2 双分数Black-Scholes期权定价模型

考虑股价St满足双分数布朗运动：

若Black-Scholes模型其余条件不变，则此时市场为It型双分数Black-Scholes市场.假定当前存在两种资产.一种是无风险资产债券，满足：

dMt=rMtdt

其中:r为无风险利率；另一种风险资产股票，由双分数布朗运动驱动，且在风险中性测度Q下，有

由引理2，有

定理1 标的资产S，到期日为T，执行价为M的欧式买权t时刻的价格为

Ct=StN(d1)-Me-r(T-t)N(d2)

其中

证明 由引理2

也即

所以

由引理4

而

所以，欧式买权的价格为

Ct=StN(d1)-Me-r(T-t)N(d2)

定理得证.

3 股价和执行价同受双分数布朗运动驱动的期权定价模型

假设Lt为时刻t的执行价格，则期权在时刻T以执行价格LT执行.假定在分数风险中性测度Q下，Lt满足随机微分方程

此时，欧式看涨期权的到期收益为

则由定理1有

其中

从而有

其中

从而有

因此

4 结 语

双分数布朗运动在积分意义上和经济意义上具有显著优势，成为描述资产价格的合适工具.以此为基础，本文结合双分数布朗运动的统计特性和传统鞅定价思路，得到了双分数Black-Scholes公式，进而对股价和执行价同受双分数布朗运动驱动的期权定价模型进行求解.研究结果表明，双分数期权价格取决于到期时间和双分形参数HK.本研究借助分数布朗运动环境下的鞅定价思路，扩展到双分数布朗运动驱动的定价问题，将随机积分意义和经济意义完美结合，对各类修正的分数布朗运动族驱动的定价模型具有推广价值.

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Option pricing model with stock and exercise price driven by FBM

ZHAO Wei

(School of Business, Huaihai Institute of Technology, Lianyungang 222005, China)

Bifractional Brownian motion has become the more suitable tool for field in mathematical finance. Because it has self similar and long term correlation properties, and it is also a semi-martingale. This paper set the assert price followed Bifractional Brownian Motion (BFBM), and construct bifractional Black-Scholes market. Based on the statistic property of BFBM and quasi-martingale method, bifractional Black-Scholes model was solved. Moreover Option pricing model with stock and exercise price droved by BFBM was discussed. The results showed Motion and standard Brownian Motion became a special example, and the method was important significance of option pricing driven by many kinds of modified Brownian motion.

bifractional Brownian motion; quasi-conditional expectation; quasi-martingale pricing; bifractional Black-Scholes mode

2016-09-21.

赵 巍(1980-)， 男，博士，副教授，研究方向：金融复杂性和金融工程.

O177

A

1672-0946(2017)03-0347-03