精讲多练精心辅导

彭江涛++刘雪梅++陈尚弟

高等代数是我院信息与计算科学专业和统计学专业的重要专业基础课，也是中国民航大学的校级精品课程，课程归属信息与计算科学专业.高等代数教学质量的提高事关学生的后继课程的学习以及信息专业的发展和学生的培养质量.为了提高高等代数的教学质量，高等代数课程组的教师对该课程的教学进行了改革.我们的举措是“精讲多练、精心辅导、学法指导、思想渗透、引导应用”.这一举措分三个层次.

精讲多练是提高高等代数教学质量的第一层次；精心辅导、学法指导、思想渗透是第二个层次；引导应用是第三个层次.

一、精讲多练

课堂教学是教学活动的主战场，更是传授知识和提高能力的主要环节.教师讲什么、怎么讲对教学质量的提高至关重要.“精讲多练”这个看似古老的教学理念和方法，我们认为它并不过时，特别对数学专业来说，这是一个永恒的有效方法，关键是要处理好“精讲什么”与“怎么精讲”的关系，处理好“多练什么”和“如何多练”的关系.为此，我们主要采用了几个措施.

（一）精心准备、团队协作、群策群力

要做到精讲，首先要做到精心，既要精心准备讲课的全部内容，又要精心选择精讲的内容，还要精心设计讲课的方式方法.我们充分发挥团队的力量，我们的高等代数课程组共有六位教师，其中既有经验丰富的老教师，又有年富力强的青年教师，目前承担高等代数课堂教学任务的是两位年轻的教师.课程组在课程的每一章开始讲解之前，进行一次教研活动，大家献计献策，根据自己的经验和对内容的理解，共同分析课程内容的重点和难点，确定哪些内容需要精讲，哪些只需简讲.例如，开课前代数几何课群组六位教师集中研讨，重新审定了教学目标，教学重点、难点，教学实施方案等.主讲教师重新备课，精炼授课内容，重点剖析理论体系的来龙去脉，着重培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力.在不影响整个理论体系的前提下删去部分选学内容，省略部分较难理解的理论证明，从而压缩部分学时.例如传统的二次型标准形的教学中，用初等的配方法证明标准形的存在性，再用矩阵来表示配方法，从而实现二次型向标准形的转化，在实际教学中，我们略去了初等的配方法证明，改用一个具体的例子说明，然后介绍了所谓的合同变换（即对方阵做一次初等行变换之后立即做一次相应的初等列变换），如此调整之后使学生容易接受，且节约了一个课时的时间可以给学生来做练习.以做习题的方式来掌握基础知识，强化课程重点，是数学学习的必要过程.

（二）精选例题、深入讲解、及时点评

例题对进一步深入理解概念、定义和定理有重要的作用.我们一方面对教材中的例子进行优化，一方面精心补充新的例子，进行深入的讲解，并对解题方法进行及时的点评.例如，判断向量组的线性相关和线性无关，我们选择了这样一个例子[1]：

设向量组αi=（ai1，ai2，…，ain），i=1，2，…，n，且行列式

D=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann≠0.

求证向量组α1，α2，…，αn线性无关.

证法一 设k1α1+k2α2+…+knαn=0，则得线性方程组

a11k1+a21k2+…+an1kn=0，a12k1+a22k2+…+an2kn=0，…a1nk1+a2nk2+…+annkn=0.

因為这个齐次方程组的系数行列式正好是D′≠0，故此方程组只有唯一的零解k1=k2=…=kn=0.

证法二 假设α1，α2，…，αn线性相关，则向量组α1，α2，…，αn中必有某个向量，不妨设αi是其余向量的线性组合，即有

αi=k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+kαn，

用-k1，…，-ki-1，-ki+1，…，-kn分别乘D的第1，…，i-1，i+1，…，n各行后，都加到第i行上，则D的第i行的元素全都变为零，故D=0，这与D≠0矛盾.

点评 证明一个向量组的线性无关，通常采用两种基本方法.欲证α1，α2，…，αn线性无关，只需证明：由k1α1+k2α2+…+knαn=0，可以推出k1=k2=…=kn=0.证法一属于这种方法.第二种是反证法，因线性相关与线性无关是两个互相排斥的概念，故在证明这类命题时，反证法具有基本的重要性，上面证法二就属于这种证法.当然还可以利用向量组的等价性、极大无关组、秩等方法证明向量组的线性相关性.例如，为判断向量空间Pn中向量组α1，α2，…，αm的线性相关性，以这些向量的分量为列做矩阵A，若A的秩小于向量组的个数m，则该向量组线性相关；若A的秩等于向量组的个数m，则该向量组线性无关.

通过点评，学生能尽快地掌握解决这类问题的基本方法.有时，我们也让学生参与解题方法的点评.

（三）精选习题、多方练习

做习题对数学专业来说就是做实验，一方面，能检验学生对已学知识的掌握情况，另一方面，也能使学生进一步熟悉所掌握的知识.

目前高等代数教材中基础习题过于简单，补充题目又难度较大，学生做题的积极性不高.我们通过增加课堂练习，补充适当的习题来促使学生思考，加强学生对理论知识的理解，训练学生的逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力.

二、精心辅导、学法指导、思想渗透

没有教师的精心辅导和学生的刻苦学习，一切好的教学理念和教学方法对教学质量的提高都难以产生好的效果.为此，我们抓住以下三个环节.

（一）分组辅导、责任到人

理学院的信息与计算科学专业和统计专业每一届约有60左右名学生，我们将学生分成六组，每组约十几人，课程组的每位教师负责辅导一组.每周由辅导教师和学生商量在一个固定的时间和地点对本组学生进行答疑和辅导.由于每组的学生人数少，辅导教师能够近距离地了解学生，并能进行有针对性和个性的辅导，这对课堂教学是一个极好的补充.

（二）诱导提问、学法指导

在教学和辅导过程中，我们发现学生不会提问题或者说所提问题质量不高.我们在辅导过程中采用启发和诱导的方式，逐渐引导学生会提问题.学生能提出好的问题，表明学生的能力获得了提高，也说明教学质量也有提高.例如，多项式理论部分，辅导过程中向学生提出了这样的问题：“两个互素的多项式有公共根吗？”“不可约多项式会有重根吗？”

另一方面，一些学生的学习方法也不得当，教师在辅导和答疑过程中指导他们如何理解某个概念.

（三）思想渗透、融会贯通

高等代数中的概念、定义和定理体现了很多的数学思想、方法论和哲学原理.通过数学思想和哲学原理的渗透，实现对概念和原理的深入理解和融会贯通.例如，在教学或质疑过程中告知学生，求多项式的最大公因式的辗转相除法与求整数的最大公因数的思想是一致的，这个方法是机械的，它们可以用计算机来实现.这体现了许多数学概念的辩证和统一.

三、引导应用

应用是培养学生分析问题和解决问题能力的重要一环.由于高等代数是基础课，所用教材中大量的概念、定义和定理主要是理论推导，从例题到习题很少有直接的解决现实问题的例题和习题.这大大影响了学生的学习积极性，也不利于学生对基本概念的理解和基本方法的深入掌握.我们利用答疑的机会给学生补充了大量的应用方面的问题，引导学生主动地运用所学知识解决实际问题.

例如，在学习完线性方程组的理论之后，我们引导学生应用线性方程组解决网络流问题.当科学家、工程师或经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出方程组.例如[2]，城市规划和交通工程人员监控一个网格状的市区道路的交通流量模式；电器工程师计算流经电路的电流；经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售.许多网络中的方程组涉及成百上千的变量和方程.再如，在学习完线性变换和矩阵的特征值和特征向量后，学生们只知道这一理论和方法在研究线性变换和矩阵的可对角化问题中起关键作用，但不知道它们在概率统计、随机过程、振动、机械压力、电子系统、量子力学、化学反应、遗传学、经济学等领域起着重要作用.我们利用答疑的时间给学生补充了下面几个例子[3]：

美国在1940年建造的塔科马（Tacoma）海峡桥，一开始这座桥有小的波动.许多人好奇地在这座移动的桥上驾驶汽车，大约4个月后，振动变得更大.最后这座桥落到水中，对于这座桥倒塌的解释是：由于风的频率太接近这座桥的固有频率引起的振动.而这座桥的固有频率是桥的建筑系统的绝对值最小的特征值.这就是特征值对于工程师分析建筑物的结构时非常重要的原因.

特征值也可用于检查固体的裂缝或缺陷，当一根梁被撞击，它的固有频率（特征值）能够被听到.如果这根梁有回响声，那么它没有裂缝.如果声音迟钝，那么这根梁有裂缝，因为裂缝或缺陷会引起特征值变化.灵敏的仪器能被用于更精确地“看見”和“听到”特征值.

特征值在经济学领域中也有许多应用，如，在研究进口总额与国内总产值、存储量、消费量之间的依赖关系时，首先收集数据，然后建立线性回归分析模型，对参数进行估计.一种估计方法是主成分估计，它基于特征值和特征向量，在一定条件下主成分估计比最小二乘估计有较小的均方误差.

这些应用性问题的补充，不仅极大地开阔了学生的眼界，也很好地调动起学生的学习积极性，也增强了学生应用所学知识解决问题的意识和能力.

四、教学管理和成绩考核

严格的管理和合理的考核是改革取得良好效果的重要保障.

（一）加强课堂管理

为了确保学生的上课质量，必须营造好的课堂氛围，因此，任课教师每节课都会清查人数，强调纪律性，杜绝了迟到、早退等现象，很好地保证了教学的秩序.另外，通过设置一些开放性问题，增加了课堂讨论环节，既活跃了课堂气氛，又调动了学生的兴趣，取得了不错的效果.

（二）调整考核方式

高等代数课程原有考核方式是平时成绩占15%，期末考试占85%.由于期末考试成绩的比例过大，学生养成了一种平时应付差事，期末考试前突击复习的不良习惯，如此则达不到培养抽象思维能力和逻辑推理能力的目的.为了改变这种情况，高等代数课提高了平时成绩和期中考试的比例，让教师有了更多的灵活性，同时也迫使学生重视学习的连贯性，改变平时疏于学习、考前突击的学习状态.

五、结论和改革的效果

经过了一个学年的努力，“精讲多练、精心辅导、加强质疑”的改革收到了不错的效果：

1.由于精炼了内容，突出了重点，略去了部分烦琐且不易理解的证明，使学生更易于接受高等代数的理论体系，培养了学习的兴趣，提高了上课效率，保持了学习的连贯性，为学生的后续学习打下了良好的基础.同时，由于增加了习题课的课时，使高等代数的课堂教学与学生高中阶段的学习模式有了更多的相同点，因此，学生可以更快地融入课堂，更快地适应大学的学习.

2.在质疑辅导环节中，代数几何组的教师全员上岗，大大缩小了辅导小组的规模，更便于组织，且容易发现共性的问题，使学生对课堂知识理解得更加深刻，大大减小了后续的课堂教学的压力.通过小范围的辅导也容易使同组学生取长补短、互相帮助，形成良好的互动与竞争的氛围.

3.质疑辅导一方面可以帮助后进学生，使其进步，更重要的一方面是可以发现对数学有兴趣、有数学头脑的好苗子，可以帮助他们建立起信心，短期内可以培养他们参加数学竞赛，将来可以培养他们考研，甚至从事专门的数学工作.在2014年10月，我们选派了2013级的10名学生参加全国大学生数学竞赛数学专业组天津赛区的比赛，其中有两人获天津市二等奖，并且有一人是我校所有参赛学生中成绩最好的.特别值得一提的是在参赛的时候这些学生还没有学完高等代数的课程.

下面通过近三届学生的高等代数成绩对比，来看一看改革的效果.我们从年级人数、及格率、平均成绩和标准差几个方面来总体分析.

从高等代数（1）的成绩对比来看，参加了质疑辅导的2013级学生及格率要高于2011级和2012级学生，平均成绩基本持平，而标准差则明显低于前两个年级.特别值得一提的是2013级的学生人数比前两个年级的要多，所以取得这个效果可以说是很好的.

从高等代数（2）的成绩对比来看，参加了质疑辅导的2013级学生及格率、平均成绩和标准差与2011级基本持平，但是与2012级学生比较则处于较低的水平.分析原因如下：1.2012级学生的高等代数（2）期末试题难度偏小，导致整体成绩较高，而其他两个年级的试题难度相当，比较能反映学生状况；2.2013级学生有两个学生缺考（没有参加期末考试），其成绩未统计在内，所以2013级的期末成绩未完全反映全体学生的学习状况；3.三个年级都多少出现了人员流失的情况（转专业），而且流失的学生多是成绩较好的，因此对整个年级的总评成绩有较大影响，特别是在2013级流失学生大大多于2011级的情况下仍然维持了一个及格率基本持平、平均成绩基本持平、标准差基本持平的状况，足见改革的效果是不错的.

尽管“精讲多练、精心辅导、加强质疑”的改革取得了不错的成绩，但是我们还是在其中发现了一些问题：有学生不能正确认识质疑辅导，认为是给其增加负担；有学生对质疑辅导形成依赖，忽视课堂学习；学校转专业的政策造成了优秀学生的流失，同时也给未转专业的学生的心理造成了一定的负担，影响了学习的状态.如何解决上述问题还是值得我们进一步探讨的.

【参考文献】

[1]李师正，等.高等代数解题方法与技巧[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]D C Lay.线性代数及其应用[M].北京：机械工业出版社，2005.

[3]丘维声.高等代数学习指导书（上、下册）[M].北京：清华大学出版社，2009.