一道希腊阿基米德竞赛不等式试题的加强推广

福建省福清第三中学 (350315) 何 灯

一道希腊阿基米德竞赛不等式试题的加强推广

福建省福清第三中学 (350315)
何 灯

这是2017年希腊阿基米德数学竞赛试题中的一道,本文拟给出上述不等式的一个加强推广.

结论 设a,b,c>0,0≤λ≤3,则有

注意到3∑a4+3∑a2b2-6∑a3b

=3a2∑(a2-2ab+b2),(2)

24∑a2b2-12∑a3b-12∑ab3

=-12ab∑(a2-2ab+b2),(3)

27∑b4+27∑a2b2-54∑ab3

=27b2∑(a2-2ab+b2),(4)

2∑a2b2-2abc∑a=∑b2c2+∑c2a2-2abc∑c=c2∑(a2-2ab+b2),(5)

将式(2)-(5)左右两边分别相加,可得30∑a4+56∑a2b2-18∑a3b-66∑ab3-2abc∑a=(3a2-12ab+27b2+c2)∑(a-b)2,由基本不等式得