一族新的离散可积双哈密顿系统

吴迪

【摘 要】数年来，科学界对孤立子的研究呈不断发展进步趋势，许多领域中都存在孤立子现象以及与孤立子密切相关的问题，比如，在对无中心Virasoro对称代数或孤立子方程进行研究时产生的可积耦合系统。目前，学术界已找到多种求解可积耦合的方法：1，摄动；2，拓展相应的Lax对；3，拓展新的Loop代数； 4，运用半直和李代数。首先通过离散零曲率方程得到一族新的可积晶格方程，再由迹-恒等式建立一个双-哈密顿结构，最后，证明了该方程族是Liouville可积的。

【关键词】可积晶格方程；双-哈密顿结构； Liouville可积

A novel family of discrete bi-Hamiltonian systems

WU Di

（College of Mathematics and Systems Science， Shandong University of Science and Technology， Qingdao Shandong 266590，China）

【Abstract】Soliton theory research is developing in many scientific fields and there exists soliton and soliton theory closely related problems， integrable coupling system is in the center of the study without Virasoro algebra or symmetrically soliton equation. Scientists have found many integrable coupling methods： one， the perturbation method； two， expand the corresponding method of Lax on； three， extend new Loop algebra of the method； four， the use of a half straight and lie algebra method. A novel family of integrable lattice equation is derived from the discrete zero curvature equations. A bi-Hamiltonian structure of obtained family is established by discrete trace identity. Then， Liouville integrability for the obtained family is demonstrated.

【Key words】Integrable lattice equation； Bi-Hamiltonian structure； Liouville integrable

1 研究背景

自然界中有很多复杂的现象可以用可积晶格方程来描述，比如，晶体中的质子振动，自然界中的脉冲现象，电子网络分布以及电流等等。至此，科学家们已经从多种角度对可积晶格方程进行了系统化的研究，如逆-散射转换[1-2]，对称和主对称[3-4]，连续-极限和r-矩阵结构[5]，哈密顿和双-哈密顿结构[6-9]，可积耦合系统[10-11]，由Casorati行列式建立复合解[12]，达布变换[13-14]等等。

如果一個方程族

能够作为谱问题（3）和（4）的相容性条件

那么，方程族（1）是拉克斯可积的。

其中，离散的空间谱问题如下所示

以及如下的相应时间谱问题

其中un=u（n，t），n是离散变量，t是连续变量，n∈Z，t∈R。

晶格函数f（n）的位移算子E及其逆算子的定义为

Efn=fn+1=f（n+1），E-1fn=fn-1=f（n-1），n∈Z（5）

空间谱问题（3）和时间谱问题（4）是方程族（1）的拉克斯对，显然，寻找适合空间谱问题（3）的新的可积晶格方程仍然是十分复杂的。此外，双-哈密顿结构[8-9]的存在性问题是可积晶格方程的特征之一。若一族可积晶格方程具有双-哈密顿结构，那么可以找出一个继承算子，通过计算得到相应方程族的守恒泛函和对称性。 迹-恒等式是建立可积晶格方程族的双-哈密顿结构的有效方法之一[6-7]。

文章结构如下，第一节，介绍孤立子的研究背景。第二节中，我们引入一个离散的空间谱问题：

上面公式中的un= 是位势向量，φn= 是特征函数向量，λ是谱参数并且λt=0。

第一步，选取一个合适的时间谱问题（4），第二步，运用离散零曲率方程导出一族可积晶格方程。第3节中，建立导出的可积晶格方程族的双-哈密顿结构，然后由迹-恒等式导出其相应的守恒泛函，因此可积晶格方程族的刘维尔可积性得到证明。最后，第4节中，有一些相关的结论和评价。

2 一族新的可积晶格方程

这一节中，我们将推导出一族新的可积晶格方程。首先，求解驻定离散零曲率方程

（EΓn）Un-UnΓn=Γn+1Un-Un-UnΓn=0（7）

这里

方程族（7）的具体形式为

运用Laurent级数展开式

然后将（9）代入（8）中，得到初始条件如下所示

a -a =0，b =0，c =0

以及相应递推关系：

根据命题[7]得知a ，b ，c ，m≥1是局部的。若取a = ，且用差分算子（E-1）的逆运算求解a ，m≥1时，我们取常数为0，因此递推关系（10）唯一的决定了a ，b ，c ，m≥1。

经过计算得到前两个集合如下：

假定

由（10）直接进行计算，得到

显然，方程族（11）与（Un） 不耦合，所以选取一个修正项

假定

，m≥0

经过计算得到如下方程

显然，修改过的方程与（Un） 耦合。

下面介绍一个适合谱问题（6）的时间谱问题：

所以，空间谱问题（6）与时间谱问题（12）的相容性条件为：

该相容性条件等价于离散零曲率方程：

因此，（13）给出了微分-差分方程族的一族可积晶格方程，如下所示

所以，方程族（14）的拉克斯对由（6）和（12）构成，因而，（14）是拉克斯可积的。

m=0时，（14）是一个平凡的线性系统

m=1时，方程族（14）首个非平凡可积晶格方程，如下所示

3 方程族（14）的双-哈密顿结构

这一节中，任务是建立方程族（14）的双-哈密顿结构。为了更好的进行下一步以及更深入的讨论，这里介绍一些概念。

首先，（f ，g ） 表示fn与gn的标准积，R2表示二维欧式空间

值得注意的是fn，gn于无穷大处趋于0，亦即fn→0，gn→0，n→∞。

然后

表示Gateaux导数定义。

接着，等式=

若J为斜对称算子且满足Jacobi恒等式，则称线性算子J为哈密顿算子。

根据参考文献[7]，记

以及= Tr（XY），和为同阶矩阵。易知

运用参考文献【7】中的迹-恒等式

（16）

将拓展式

代入（16），并且平衡方程（16）中等式两端的λ-2m-1系数，结果如下

（17）

一个特殊情况考虑如下，在（17）中令m=0时，经过计算得到ε=0。 因此，（17）可以写成

- =（ε-2m）- ，

假定 = （ ），m>0

我们有 =- ，m>0，

通过计算，进一步得到

其中J=

利用方程（10）经过一定计算，得到如下递推关系

=ψ ，m>0

这里ψ是一个2×2阶矩阵。

= E 定义了变分导数。

因此可以用如下的双-哈密顿结构重写方程（14），如下所示

u = =J =Jψ =Jψ ，m≥1.（18）

因为方程（15）属于方程族（14），所以，（15）具有双-哈密顿结构：

u = =J ， = （19）

为了证明离散双哈密顿系统（18）是刘维尔可积的，

下面引入泊松括號：

{f ，g } =< ，J >= ，J （20）

证明极大幂守恒泛函的存在是十分重要的， 为了得到结果，经过计算得到

同理得到

{ ， } =-{ ， }

由于李括号具有自反性，容易得到

{ ， } =-{ ， }

所以

{ ， } =0，m，l≥1（21）

以及

（ ）t =< ，un >=< ，J >={ ， } =0，m，l≥1（22）

由上述结论， 我们得到如下定理。

定理1

（1）{ } 是方程族（14）（或（18））的守恒泛函。在与泊松括号（20）相关的对合中成对的进行变化。

（2）方程族（14）中的方程都是Liouville可积的并且具有离散双-哈密顿结构。

4 结论与评价

在这篇文章中，首先引入了一个离散谱问题，然后由离散零曲率方程推导出一族离散的可积微分-差分方程。通过迹-恒等式，为得到的方程族建立一个双-哈密顿结构。然后，提出一些常见的守恒泛函，这暗指获得的离散双-哈密顿系统是刘维尔可积的。此外，还有其他的可积性问题值得进一步研究，例如达布变换、对称与主对称、可积耦合系统、半直和李代数等等。

【参考文献】

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[責任编辑：朱丽娜]