数学公式邮票中的物理内涵（一）

徐汉屏

你见过印有数学公式的邮票吗？早在1971年，尼加拉瓜就曾经发行过十张一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”的邮票。这些邮票是根据一些著名数学家选出的十个对世界发展极有影响的数学公式进行设计的。其实，这十个数学公式中，除了“手指计数基本法则”、“勾股定理”和“纳皮尔指数与对数关系公式”三个纯属数学学科外，其余七个公式则包含着丰富的物理内涵。

下面，向你展示这些具有物理内涵的数学公式邮票图片，介绍公式的物理意义及相关物理学家的事迹。

·阿基米德杠杆原理——F₁x₁=F₂x₂

在力学里，典型的杠杆是置放在一个支撑点上的硬棒，这硬棒可以绕着支撑点旋转。当杠杆处于静止状态或匀速转动状态时，我们就称之为杠杆平衡。公式F₁x₁=F₂x₂，即动力×动力臂=阻力×阻力臂，就是杠杆平衡的条件。当动力臂大于阻力臂时，动力小于阻力，杠杆省力；当动力臂小于阻力臂时，动力大于阻力，杠杆费力；当动力臂等于阻力臂时，动力等于阻力，杠杆既不省力也不费力。杠杆原理是由阿基米德发现的，故称为阿基米德杠杆原理。

阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊哲学家、数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家。他出生于西西里岛的叙拉古，第二次布匿战争时期死于罗马士兵之手。阿基米德对物理学的影响极为深远；他对于数学的贡献，使阿基米德被很多人视为欧洲古代最杰出的数学家和所有时代最杰出的数学家之一。他曾和牛顿及高斯被西方评价为有史以来最伟大的三位数学家。

在埃及公元前一千五百年前左右，就有人用杠杆来抬起重物，不过人们不知道它的道理。在阿基米德发现杠杆原理之前，是没有人能够解释的。当时，有的哲学家在谈到这个问题的时候，一口咬定说，这是“魔性”。阿基米德则根本不承认这种看法。

在《论平面图形的平衡》一书中，阿基米德最早提出了杠杆原理。他首先把杠杆实际应用中的一些经验知识当作“不证自明的公理”，然后从这些公理出发，运用几何学通过严密的逻辑论证，得出了杠杆原理。这些公理是：（1）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡；（2）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重的一端将下倾；（3）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距离远的一端将下倾；（4）一个重物的作用可以用几个均匀分布的重物的作用来代替，只要重心的位置保持不变。相反，几个均匀分布的重物可以用一个悬挂在它们的重心处的重物来代替……正是从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，阿基米德发现了杠杆原理。

阿基米德说：“给我一个支点，我就可以撬动地球！”但是，这样的支点是无法找到的。希腊国王不相信杠杆有此神奇的作用，阿基米德便借了一艘大船，他运用杠杆原理以及滑轮巧妙地组合机械，船载满乘客及货物后，让国王用手轻轻拉一条绳子，大船就直线前进了，令国王很是惊讶与佩服。

在保卫叙拉古免受罗马海军袭击的战斗中，阿基米德利用杠杆原理制造了远、近距离的投石器，利用它射出各种飞弹和巨石攻击敌人，曾把罗马人阻于叙拉古城外达三年之久。

阿基米德的成就，除杠杆原理外，还有著名的浮力原理——“物体在液体中的浮力等于它所排开的液体重量”。相传希腊国王让人打造了一个王冠，但怀疑工匠在其中掺杂了其他金属，于是问阿基米德能否判别出来。后来阿基米德在澡盆里洗澡的时候看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起，突发奇想，发现了浮力原理。

他也是杰出的数学家，著有《圓的量度》《抛物线的求积》《论螺线》《论球和圆柱》《论劈锥曲面体和球体》《数沙术》《论平板的平衡》等书。阿基米德最得意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的2/3倍，这个图形就刻在他的墓碑上。

需要指出的是，我国古代的劳动人民在生产实践中早就使用杠杆了，至春秋时期应用桔槔已相当普遍。桔槔是一种提水灌溉的器具，它是用一根横梁拴在直立的木桩或树干上，可自由转动，横梁一端用长绳垂下水桶，另一端则以重物平衡，用这种器具提水可大大减轻劳动强度。桔槔事实上就是一种杠杆。另外，在长沙左家公山，曾出土战国初期根据杠杆原理制造的天平。我国战国前期兴起的墨家学派，总结了当时使用桔槔和天平的经验，在《墨经》中就有两条专门记载杠杆原理的。这两条对杠杆的平衡说得很全面。里面有等臂的，有不等臂的；有改变两端重量使它偏转的，也有改变两臂长度使它偏转的。墨家在讨论杠杆平衡时，不仅从正面指出使用杠杆时必须让杠杆水平达到平衡，还从反面论述杠杆不平衡的道理。墨家的这一发现比阿基米德早了约二百年。

*牛顿万有引力定律——F=Gm₁m₂/r²

任何两个物体之间都存在着因具有质量而产生的互相吸引力，人称“万有引力”。公式F=Gm₁m₂/r²反映了万有引力与两物体的质量及距离间的关系，即万有引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体距离的平方成反比，式中的G为比例系数，称为引力常量。万有引力定律是由牛顿发现的。

牛顿（1643年1月4日～1727年3月31日）是英国物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。他出生于英国林肯郡乡下的一个小村落伍尔索普村的伍尔索普庄园，逝世后与很多杰出的英国人一样被埋葬在威斯敏斯特教堂。牛顿是作为经典力学基础的牛顿运动定律的建立者，被誉为“物理学之父”。在2005年，英国皇家学会进行了一场名为“谁是科学史上最有影响力的人”的民意调查，牛顿被认为比爱因斯坦更具影响力。

牛顿小时候并不聪明，功课也不好，身体差、性格沉默又爱做白日梦，他的超人才智竟然是被一个野蛮的同学踢了一脚而唤醒的！牛顿决心发奋，誓言在功课上超越他，结果他不单在学校中名列前茅，18岁时便考进剑桥大学。牛顿24岁时，伦敦发生流行病，他便返回故乡，在一年半的时间里有了三个非凡的创见，发明“微积分”，发现“万有引力”，发现“光分七色”。

在大学里，牛顿学习了行星绕太阳运动的规律后，脑子中一直盘算着这样的问题：究竟是什么作用力使得行星绕太阳转个不停呢？正是在其24岁返乡期间，有一次，他正坐在花园里的苹果树下思考问题，突然一个苹果从树枝上掉了下来。看着落地的苹果，牛顿的心头开了窍。牛顿想，苹果为什么落到地面上，而不向空中“落”去呢？这说明地球对苹果有吸引力。那么，行星能绕太阳转个不停而不远离太阳飞去，是否也是由于行星受到太阳的吸引力呢？他又进一步推想，地球对月亮有吸引力，这个吸引力是否就是使月亮绕地球运转的力呢？世界万物之间的引力又存在着怎样的规律呢？

牛顿开始论证地球对月亮的引力确实就是月亮绕地球运行所需的向心力，然而由于当时测量数据的误差，牛顿的努力失败了。十几年后，法国科学家皮卡尔纠正了有关数据。牛顿得知后立刻聯想到自己的计算，他很快按新数据重新计算，终于得到了满意的结果。牛顿又用同样的方法计算太阳对地球和其他行星的引力，都证明了万有引力的存在。

经过长期研究，牛顿终于揭开了万有引力的秘密，并把这一规律写进了1681年出版的《自然哲学的数学原理》一书中。可以这样说，苹果的“偶然”落地，促成了牛顿发现万有引力定律。在《自然哲学的数学原理》，牛顿除了总结出万有引力定律外，还提出了三大运动定律，建立了经典力学的基本体系，该书被誉为最伟大的科学著作。

说到万有引力的发现，还不得不提到另外三位科学家，他们是第谷、开普勒和胡克。

第谷是一位伟大的天文观察家。他在丹麦乌伦堡天文台工作期间，亲自设计改装天文观察仪器，加大了仪器的尺寸，提高了仪器的准确性。在长达二十多年的时间内，第谷测得了上千个星体的位置数据，误差不超过0.076度，他还发现了后来以他的名字命名的新星——第谷星，他对彗星的观察和研究改变了人们的错误认识。第谷经过长期的仔细观测，把此前数百年的星宿表都纠正了过来，他的不少第一手观测资料被整理成《路德福天文表》出版，成为研究天体运行的宝贵财富。

开普勒则是一位卓越的理论家。1600年，开普勒成为当时已在布拉格天文台工作的第谷的助手。他运用第谷临终前给他留下的全部观测资料和手稿，悉心进行研究。他在研究观测数据最详细的火星时发现，若根据圆周轨道进行计算，结果与观测数据总不能符合得很好。为此，他将行星的运动轨道大胆地解释为椭圆，经过难以想象的复杂计算，他终于在1609年提出了反映行星运动轨道形状的第一定律即“轨道定律”和反映行星运动速度规律的第二定律即“面积定律”，九年之后又发现了反映不同行星运动之间联系的第三定律即“周期定律”。

胡克是英国著名物理学家，他对万有引力也进行过富有成效的研究。1674年，胡克在他的《地球运动的实验证明》一书中，定性地认为天体都是互相吸引的。在一次聚会中，胡克还同其他几位科学家讨论过在平方反比的引力作用下物体的轨迹形状，他表示可以用平方反比关系证明一切天体的运动规律。1679年胡克在给牛顿的信中曾提到，太阳到行星的吸引力跟行星对太阳的距离的平方成反比。

这些，对牛顿的研究都产生了一定的影响。牛顿说：“如果我看得比较远，是因为我站在巨人的肩上。”这句名言，既体现了牛顿的谦虚，也确实是万有引力定律发现过程的真实写照。

最后需要说明的是，牛顿当年并没有给出引力常量的具体数值。直到100多年后，英国人卡文迪许利用扭秤，才巧妙测出了这个常量，从而使引力公式可以定量计算物体间的引力大小。卡文迪许测出的数值与近代用更加科学的方法测定的数值非常接近。